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节 一、积分上限函数及其导数 二、牛顿–莱布尼兹公式 定积分的基本公式 章 定积分 机动目录上页下页返回结束 第一页，编辑于星期二：十七点 二十二分。 本节的教学要求 理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理 掌握牛顿-莱布尼茨公式 重点 定积分的基本公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二页，编辑于星期二：十七点 二十二分。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、变上限函数及其导数 考察定积分 设 f (x) 在[a, b]上可积, 任取一点 变上限函数 如果上限 x 在区间[a, b]上任意变动, 每一个取定的 x 值, 则对于 定积分有一个对应值, 所以它 在[a, b]上定义了一个函数, 记为 定积分的基本公式 第三页，编辑于星期二：十七点 二十二分。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注 一定要分清函数的 自变量 x 积分变量 t. 与 这个函数的几何意义 是如图红色部分的面积 函数. 定积分的基本公式 第四页，编辑于星期二：十七点 二十二分。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则变上限函数 在[a, b]上可导, 且它的导数 定积分的基本公式 微积分的基本定理 第五页，编辑于星期二：十七点 二十二分。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 系. 因此区间[a, b]上连续函数 f (x) 的不定积 定理指出: 函数 就是 f (x) 的一个原函数. (1) 连续函数 f (x) 一定有原函数, 分可以用定积分形式表示，即 (2) 初步揭示了积分学中定积分与原函数的联 定积分的基本公式 第六页，编辑于星期二：十七点 二十二分。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 设 ，求 解 由定理知 例2 设 求 定积分的基本公式 解 由定理知 例3 设 求 第七页，编辑于星期二：十七点 二十二分。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4 设 求 解 因为 所以 定积分的基本公式 第八页，编辑于星期二：十七点 二十二分。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5 求 解 令 则有 定积分的基本公式 第九页，编辑于星期二：十七点 二十二分。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的基本公式 例6 求 第十页，编辑于星期二：十七点 二十二分。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7 求 解 型未定式，由洛必达法则得 这是 定积分的基本公式 第十一页，编辑于星期二：十七点 二十二分。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的基本公式 例8 求 第十二页，编辑于星期二：十七点 二十二分。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 由 有 令 得驻点 由极值第二充分条件知 是极值点. 极小值为 的极值. 例 求函数 定积分的基本公式 第十三页，编辑于星期二：十七点 二十二分。 课堂练习 2. 求 原式 解 1. 求 解 原式= 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的基本公式 第十四页，编辑于星期二：十七点 二十二分。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、牛顿—莱布尼茨公式 定理 如果 是连续函数 一个原函数, 则 牛顿(Newton)—莱布尼茨(Leibniz)公式 微积分基本公式 在区间 上的 定积分的基本公式 第十五页，编辑于星期二：十七点 二十二分。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 微积分基本公式表明 求定积分问题转化为求原函数的问题. 一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量. 定积分的基本公式 第十六页，编辑于星期二：十七点 二十二分。 例 计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 例 求 定积分的基本公式 第十七页，编辑于星期二：十七点 二十二分。