4.2 二次型的标准型与规范型.ppt

节 标准形的定义 正交线性替换法 二次型的标准形与规范形 初等变换法 二次型的规范形 第一页，编辑于星期二：十三点 二十分。 一、标准形的定义 定义 二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 经过非退化 线性替换 x= Cy所变成的如下形式(只含平方项) yTBy = d1y12 + d2y22 + … + dryr2 ( r ? n ) (4.5) 的二次型称为二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 的标准形. 不难看出，二次型 (4.5) 的矩阵 B 为 n 阶对角 矩阵. 即 B = CTAC = diag(d1 , d2 , … , dr , 0 , … , 0). 第二页，编辑于星期二：十三点 二十分。 第三页，编辑于星期二：十三点 二十分。 二、用正交线性替换法 化二次型为标准形 任一(实)二次型一定可以通过正交线性替换化为标准形. 第四页，编辑于星期二：十三点 二十分。 例 1 用正交线性替换化下列二次型为标准形, 并求出所作的正交线性替换: 第五页，编辑于星期二：十三点 二十分。 一般地，用正交线性替换将二次型　f ( x1 , x2 , …, xn ) = xTAx (其中 AT = A) 化为标准形的步骤如下: Step1 求出二次型矩阵 A 的全部特征值 ?1 , ?2 , … , ?n ; Step2 求出正交矩阵 P，使 PTAP = diag(?1 , ?2 , … , ?n) ; Step3 作正交线性替换 X = PY ，其中 Y = (x1 , x2 , … , xn )T ? Rn ，则二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 化为标准形　　?1y12 + ?2y22 + … + ?nyn2 . 第六页，编辑于星期二：十三点 二十分。 三、用配方法 化二次型为标准形 例 2 用配方法把三元二次型 化为标准形，并求所用的线性替换及变换矩阵. 例 3 用配方法化二次型 为标准形. 第七页，编辑于星期二：十三点 二十分。 即任何一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同. 第八页，编辑于星期二：十三点 二十分。 四、用初等变换法 化二次型为标准形 对A施以一系列行初等变换 对 施以一系列 同种列初等变换 PsT…P2TP1TAP1P2…Ps P1P2…Ps 第九页，编辑于星期二：十三点 二十分。 例 4 用初等变换法化二次型 为标准形. 例 5 用初等变换法化二次型 为标准形. 第十页，编辑于星期二：十三点 二十分。