不等关系与不等式.ppt

例2 已知a0，b0，求证：a3+b3≥a2b+ab2 即a3+b3≥a2b+ab2. 证明一：比较法（作差） （a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3- a2b）+（b3-ab2） =a2(a-b)+b2(b-a) ∵a0，b0， ∴( a-b)2(a+b)≥0. 故（a3+b3）-（a2b+ab2）≥0, ∴a+b0，而( a-b)2≥0. =( a-b)2(a+b). =(a-b)(a2-b2) 第三十页，共44页 故a3+b3≥a2b+ab2. 证明二：比较法（作商） ∵a2+b2≥2ab， ∴ 又a0，b0，所以ab0， 第三十一页，共44页 第一页，共44页 主要内容 3.比较代数式大小的方法 2.不等式的性质及其证明 4.不等式的应用实例 1. 不等关系 第二页，共44页 1. 不等关系 第三页，共44页 观察 最低限速60km 最低限速50km/h v?50km/h 最高限速120km 小汽车限速范围60km?v?120km/h 第四页，共44页 问题1 设点A与平面M的距离为d，B为平面M上的任意一点，则 d?|AB| A M B d 第五页，共44页 问题2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元呢？ 分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入 为 万元. 那么不等关系“销售 的总收入不低于20万元”可以表示为不等式 第六页，共44页 问题3 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种.按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？ 分析：假设截得500mm钢管x根，截得600mm的钢管y根. 由题意，应有以下的不等关系： （1）截得两种钢管的总长度不能超过4000mm； （2）600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍； （3）截得两种钢管的数量都不能为负. 第七页，共44页 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示： 第八页，共44页 2.不等式的性质及其证明 第九页，共44页 　　事实上，实数与数轴上的点是一一对应的. 在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大． 譬如图中，设点A 表示实数a，点B 表示实数b,点A 在点B 右边，那么a＞b． B A a b 回忆两个实数的大小是如何确定的？ 第十页，共44页 从上面的性质可知，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这也是我们研究不等关系的一个出发点. 基本事实 作差比较法 第十一页，共44页 1.不等式的性质 性质1 如果ab,那么ba; 如果ba,那么ab 证明：由于ab, 可得a-b0 所以 -（a-b）0 即b-a0 所以 ba. 同理可证得：如果ba,那么ab 说明：此性质可称为不等式的自反性 第十二页，共44页 性质2 如果ab, bc, 那么ac. 证明：由于ab, 得a-b0；又bc，得b-c0; 所以a-c=(a-b)+(b-c)0 即a-c0 所以 ac. 说明：此性质可称为不等式的传递性。 第十三页，共44页 性质3 如果ab, 那么a+cb+c 证明：由于ab, 得a-b0； 所以（a+c）-（b+c）=a-b0 即(a+c)-(b+c)0 所以 a+cb+c. 说明：此性质可称为不等式的加法性质也叫平移性，即不等式的两边同时加上同一个常数，不等号的方向不变. 第十四页，共44页 性质4 如果ab, c0,那么acbc; 证明：由于ab, 得a-b0； ac-bc=c(a-b)0 所以 acbc. 说明：此性质可称为不等式的乘法性质，也叫伸缩性：即不等式的两边同时乘上同一个正数，不等号方向不变，不等式的两边同时乘上同一个负数，不等号的方向改变. 如果ab, c0,那么acbc. 当c0时 ac-bc=c(a-b)0 所以 acbc. 当c0时 第十五页，共44页 性质5 如果ab, cd,那么a+cb+d; 证明：由于ab, 得a-b0又cd,得c-d0； 说明：此性质可称为不等式的叠加性：两个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向. 所以(a+c)-（b+d）=(a-b)+(c-d)0 所以 a+cb+d. 第十六页，共44页 性质6 如果ab0, cd0,那么acbd; 证明：由于ab, 得a-b0,又cd,得c-d0 ac-bd=ac-ad+ad-bd =a(c-d)+d(