2-2 平稳随机过程和各态历经过程.ppt

2.2平稳随机过程和各态历经过程 2.2.1严平稳过程 2.2.2宽平稳过程 2.2.3各态历经过程 2.2.4平稳随机过程的相关性分析 * 第一页，编辑于星期二：二十点 五十八分。 2.2.1 严平稳过程 一个随机过程的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关，即对任意的正整数n和所有实数τ，随机过程X(t)的n维概率密度函数满足： fX(x1,x2,···,xn;t1,t2,···,tn)= fX(x1,x2,···,xn;t1+ τ,t2 + τ,···,tn+ τ) 则称X(t)是严格意义下的平稳随机过程（严平稳随机过程或狭义的平稳随机过程 ）。 严平稳过程的n维概率密度不随时间起点不同而改变。 1、定义 * 第二页，编辑于星期二：二十点 五十八分。 2、性质 （1）严平稳随机过程的一维分布与时间t无关。 f1(x1, t1)=f1(x1) * 第三页，编辑于星期二：二十点 五十八分。 2、性质 二维分布只与时间间隔τ= t2- t1有关，即有 f2(x1, x2; t1, t2)=f2(x1, x2;τ) * 第四页，编辑于星期二：二十点 五十八分。 3、严平稳的判断 (1) 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 与时间t无关。 (2) 若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0， X(t0)具有相同的统计特性。 按照严平稳的定义，判断一个随机过程是否为严平稳，需要知道其n维概率密度，可是求n维概率密度是比较困难的。不过，如果有一个反例，就可以判断某随机过程不是严平稳的，具体方法有两个： * 第五页，编辑于星期二：二十点 五十八分。 若随机过程 X(t)满足 则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。 严平稳与宽平稳的关系：严平稳过程的均方值有界，则此过程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程，严平稳与宽平稳等价。 2.2.2 宽平稳过程 1、定义 * 第六页，编辑于星期二：二十点 五十八分。 例1 某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωct+θ)，其中A和ωc均为常数，θ是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。  讨论X(t)是否是广义的平稳随机过程。  例题 * 第七页，编辑于星期二：二十点 五十八分。 解： X(t)的数学期望为 例题 * 第八页，编辑于星期二：二十点 五十八分。 X(t)的自相关函数为 例题 * 第九页，编辑于星期二：二十点 五十八分。 X(t)的数学期望为常数， 而自相关函数只与时间间隔τ有关， 所以X(t)为广义平稳随机过程。  例题 * 第十页，编辑于星期二：二十点 五十八分。 2.2.3各态历经过程 对平稳随机过程，如果它的统计平均值等于它的任意一次实现（样本）的时间平均值，即： 称平稳随机过程具有各态历经性(遍历性)，X(t)称为广义各态历经过程，简称各态历经过程。 1、定义 * 第十一页，编辑于星期二：二十点 五十八分。 2.2.3各态历经过程 具有各态历经性的随机过程一定是平稳随机过程，但平稳随机过程却不一定都具有各态历经性。 各态历经的含义： 随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。 * 第十二页，编辑于星期二：二十点 五十八分。 例2 某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωct+θ)，其中A和ωc均为常数，θ是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。  讨论X(t)是否具有各态历经性。  例题 * 第十三页，编辑于星期二：二十点 五十八分。 例题 解： X(t)的时间平均为： X(t)的时间相关函数： * 第十四页，编辑于星期二：二十点 五十八分。 比较统计平均（例1）与时间平均，得 mX= R(τ)=  因此，随机相位余弦波是各态历经过程。 例题 * 第十五页，编辑于星期二：二十点 五十八分。 一般随机过程的时间平均是随机变量，但各态历经过程的时间平均为确定量，因此可用任一样本函数的时间平均代替整个过程的统计平均，在实际工作中，时间T不可能无限长，只要足够长即可。 3 、各态历经过程和平稳过程的关系 各态历经过程必须是平稳的，而平稳过程不一定是各态历经的。（各态历经过程必定平稳由遍历定义即可知） 2、应用 * 第十六页，编辑于星期二：二十点 五十八分。 4 、各态历经过程的两个判别定理