量子力学定态薛定谔方程.pptxVIP

1 量子力学定态薛定谔方程 此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。 由de Broglie关系可知： E 就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。 空间波函数ψ(r)由方程 和具体的边界条件所确定。 该方程称为定态 Schrödinger 方程。 第2页/共84页 （1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数 这与数学物理方法中的本征值方程相同。 数学物理方法中：微分方程 + 边界条件构成本征值问题； （2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件。 因此，在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。常量 E 称为算符 H 的本征值；Ψ称为算符 H 的本征函数。 （3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数 值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。 （二）能量本征值方程 第3页/共84页 （三）求解定态问题的步骤 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ(r,t)和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下： （1）列出定态 Schrodinger方程 （2）根据波函数三个标准条件求解能量 E 的本征值问题，得： （3）写出定态波函数即得到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数 （4）通过归一化确定归一化系数 Cn 第4页/共84页 （四）定态的性质 （2）几率流密度与时间无关 （1）粒子在空间几率密度分布与时间无关 第5页/共84页 4. 能量本征函数是完备的正交归一系 可以证明（以后证明） （3）处于定态时力学量（不显含时间）的期待值是常数 推论 正交归一性 薛定鄂方程的通解可以用定态波函数的叠加表示为 其中展开系数由初始条件定 由定态波函数的正交归一性 第6页/共84页 我们来求处在 能量的期待值 我们在来看 的归一化 第7页/共84页 从上面两个式子可以看出， 具有几率的概念，当对 测量能量时，测到 的几率是 也可以说体系 是部分地处于 态，各个态出现的几率分别是 需要注意的是，尽管分离解自身是定态解， 其几率和期望值都不依赖时间， 但是一般解并不具备这个性质； 因为不同的定态具有不同的能量，在计算时 含时指数因子不能相互抵消 第8页/共84页 一维无限深势阱 求解 S — 方程 分四步： （1）列出各势域的一维S—方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 （4）定归一化系数 第9页/共84页 （1）列出各势域的 S — 方程 方程可 简化为： 势V(x)分为三个区域， 用 I 、II 和 III 表示，其上的波函数分 别为ψI(x),ψII(x) 和 ψIII (x)。则方程为： 第10页/共84页 （3）使用波函数标准条件定解 从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。 根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是 ψ(-a) = ψ(a) = 0。 1。单值，成立； 2。有限：当x  - ∞ ， ψ 有限条件要求 C2=0。 (2) 解方程 第11页/共84页 3。连续性:在势的分界点 由波函数的连续性： 点, 点, 由此得到 A和B不能同时为零,否则波函数处处为零(处处为零的波函数总是满足薛定谔方程的), 这在物理上是没有意义的.因此,我们得到两组解 第12页/共84页 (1) 对第一种情况,我们必须有 对第二种情况,我们必须有 n=0对应于波函数恒为零的解没有意义, n等于负整数时不给出新的解. 由(2.6-5,10)体系的能量为 可以看出由无限多个能量值, 它们组成体系的分离能级,每一个能级对应一个n, 我们称n为量子数. 正整数 (2.6-11) (2) 第13页/共84页 我们得到的两组波函数解 这两组解可以合并为一个式子 第14页/共84页 由归一化条件 求出 所以一维无限深势阱中粒子的定态波函数是 第15页/共84页 利用公式 可以将正弦波写成指数函数 由此可知 是由两个沿相反方向传播振幅相等的平面波叠加而成的驻波 波函数在势阱外时为零,即粒子被束缚在势阱内部.通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态,一般来讲,束缚态所属的能级是分立的.体系能量最低的态称为基态,一维无限深势阱中的粒子的基态是n=1的本征态. 第16页/共84页 第17页/共84页 （6）粒子的能级间隔 相邻两个能级的能量差：