4.4-4.6 椭球面、双曲面、抛物面.ppt

4.4椭球面 1.范围:|x|≤a,|y|≤b,|z|≤c. 图形在x=±a,y=±b,z=±c所围成的长方体内. 2.对称性:图形关于坐标原点、三个坐标轴以及三个坐标面都是对称. （直角坐标系下） 第一页，编辑于星期二：十七点 三十分。 3. 截 痕 椭球面与三个坐标面的交线（称为主截线或主椭圆）： 第二页，编辑于星期二：十七点 三十分。 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化. 椭球面与平面 （ ）的交线为椭圆 同理与平面 和 的交线也是椭圆. 第三页，编辑于星期二：十七点 三十分。 a b c y x z o 第四页，编辑于星期二：十七点 三十分。 椭球面的两种特殊情况： 旋转椭球面 由椭圆 绕 轴旋转而成． 球面 方程可写为 第五页，编辑于星期二：十七点 三十分。 例 已知椭球面的轴与三坐标轴重合,且通过椭圆 与点M, 求椭球面方程. 解 由椭球面的轴与三坐标轴重合，可设其方程为 它与xOy面的交线是椭圆： 第六页，编辑于星期二：十七点 三十分。 与已知椭圆 重合，比较得 又因椭球面通过点 ,故 第七页，编辑于星期二：十七点 三十分。 例 已知椭球面 求过x轴且与椭球面的交线是圆的平面. 解 设所求平面方程为 它与椭球面的交线是 第八页，编辑于星期二：十七点 三十分。 如果交线是圆，则圆心是椭球面的对称中心(0,0,0)， 且圆通过椭球面的顶点(a,0,0)，(-a,0,0)， 故其方程为 它与椭球面的交线是 第九页，编辑于星期二：十七点 三十分。 比较(1)与(2), 得 因此,所求平面为 练习： 习题4.4 3, 4, 5 作业： 习题4.4 2 第十页，编辑于星期二：十七点 三十分。 1. 单叶双曲面 (2) 对称性: 图形关于坐标原点、三个坐标轴以及三个坐标面都对称. (1) 范 围: 故曲面在椭圆柱面 的外部； 4.5 双曲面 第十一页，编辑于星期二：十七点 三十分。 (3) 截 痕 用平面 z = z0 截曲面所得截痕为椭圆： 用平面 y = y0 截曲面所得截痕为： 这是一条双曲线（或两条直线）. x y o z 第十二页，编辑于星期二：十七点 三十分。 截 痕 用平面 x = x 0 截曲面所得截痕为： 这是一条双曲线（或两条直线） x y o z 第十三页，编辑于星期二：十七点 三十分。 2. 双叶双曲面 (2) 对称性: 图形关于坐标原点、三个坐标轴以及三个坐标面都对称. (1) 范 围: 故曲面在两平行平面 的外部； 第十四页，编辑于星期二：十七点 三十分。 x y o (3) 截 痕 第十五页，编辑于星期二：十七点 三十分。 例 用一组平行平面 z=h (h为任意参数) 截割 单叶双曲面 得一族椭圆, 求这族椭圆焦点的轨迹. 解 这族椭圆的方程为 第十六页，编辑于星期二：十七点 三十分。 练习： 习题4.5 3 作业： 习题4.5 2,4,5 第十七页，编辑于星期二：十七点 三十分。 练习 已知 a b c 0，讨论 k 的不同取值时方程 的图像. 答案 k c ： 椭球面 k = c ： 椭圆柱面 k = b ： 双曲柱面 k = a ： 空集 c k b ： 单叶双曲面 b k a ： 双叶双曲面 第十八页，编辑于星期二：十七点 三十分。 （ 与 同号） (1) 范围: 若 p 0 且 q 0 , 则 图形在 xOy 平面上方，否则在 xO y 平面下方. (2) 对称性: 图形关于z 轴、yOz 平面、xOz 平面对称. 4.6 抛物面 1. 椭圆抛物面 第十九页，编辑于星期二：十七点 三十分。 (3) 截 痕 用坐标面 xOy (z = 0) 与曲面相截 截得一点，即坐标原点 设 坐标原点也叫椭圆抛物面的顶点. x y z o 不相交. 用平面 去截 第二十页，编辑于星期二：十七点 三十分。 设 用平面 去截 x y z o 交线为椭圆. 第二十一页，编辑于星期二：十七点 三十分。 * *