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千里之行 始于足下
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千里之行 始于足下
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专题二数列
第1讲 等差数列与等比数列
高考定位 1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点, 经常以选择题、
填空题的形式出现;2.数列的通项也是高考热点,常在解答题中的第 (1)问出现, 难度中档以下?
整合
真题感悟
(2019 ?全国I卷记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4= 0,a5= 5,则( )
A.an — 2 n — 5C.S
A.an — 2 n — 5
C.Sn — 2 n2 — 8n
1
D.Sn — 一 n2 — 2n
2
解析 设首项为a1,公差为d.
ai + 4d = 5, ai = — 3,
由S4 = 0 , a5 = 5可得 解得
4ai + 6d = 0 , d = 2.
所以 an — — 3 + 2(n — 1) = 2n — 5,
Sn —
Sn — n X( — 3) +
n (n — 1)
2
X2 — n2 —4n.
答案 A
(2018 ?北京卷“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载埴最早用数学方法 计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献?十二平均律将一个纯八度音 程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它
的前一个单音的频率的比都等于 2.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的
频率为()
解析 从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
2,第一个单音的频率为f.由等比数列的定义知,这十三个单音的频率构成一
个首项为f,公比为;
个首项为f,公比为
;2的等比数列,记为{an}?则第八个单音频率为
as — f
2
答案 D
1
(2019 ?全国I)设Sn为等比数列{an}的前n项和若ai = —, a2 = a6,贝U S5 =
3
1
解析由 a4 = a6得(aiq3)2 = aiq5,整理得 q = 一 = 3.
ai
1
a1 (1 -
-q5)
3 (1 -
-35)
121
所以S5 =
1 -
-q
—1 -
-3
—3
121
答案—
3
(2019 ?全国 U)已知数列{an}和{bn}满足 a1 = 1 , b1 = 0 , 4an +1 = 3an -bn + 4 ,
4 bn+ 1 = 3b n — an — 4.
(1)证明:{an + bn}是等比数列,{an — b n}是等差数列;
⑵求{an}和{bn}的通项公式.
(1)证明由题设得 4(an + 1 + bn + 1)= 2(an + bn),
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1
即 an + 1+ bn + 1=-(an + bn).又因为 ai + bi = 1 ,
1
所以{an+ bn}是首项为1,公比为2的等比数列.
由题设得 4(an+1 — bn+1) — 4(an — bn) + 8 ,
即 an + 1 一 bn + 1 — an 一 b n + 2.
又因为a1 - b1— 1,
所以{an- bn}是首项为1,公差为2的等差数列.
1
⑵解 由(1)知,an+ bn — 2门一 1, an — bn — 2n — 1 ,
所以a
所以an
2[(an + bn) + (an - bn)] — ~ + n -,
1 1 bn — 2〔(a n + bn) - (an - b n)] — ?n - n + 2.
考点整合
等差数列
(1)通项公式:an — a1 + (n — 1)d ;
n (ai + an) n (n — 1)
⑵求和公式:
Sn — — na i + d ;
2 2
⑶性质:
若 m , n , p, q € N*,且 m + n = p + q,贝U am + an — ap + aq ;
an — am + (n — m)d ;
Sm , S2m — Sm , S3m — S2m,…成等差数列.
等比数列
(1)通项公式:
an — aiqn — 1(q 工0);
⑵求和公式:
ai (1 — qn) a1 — anq
q — 1 , Sn — na 1; q 工1 , Sn — —
1 — q 1 — q
⑶性质:
①若m , n ,
p, q € N*,且 m + n — p + q,贝U am an — ap aq;
②an — am qn — m ;
Sm , S2m —
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