3_二重积分的计算(极坐标).ppt

*三、二重积分的换元法 节 二、利用极坐标计算二重积分 机动目录上页下页返回结束 二重积分的计算 第一页，编辑于星期二：二十一点 九分。 为什么引用极坐标计算二重积分 2 1 D 0 y x D1 D2 D3 D4 D: . 怎么计算？ 需使用极坐标系！ 此题用直角系算麻烦 必须把D分块儿! 二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二页，编辑于星期二：二十一点 九分。 又如计算 其中 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角坐标计算. 由于 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本题解法见后面例题8 还可举例 第三页，编辑于星期二：二十一点 九分。 极坐标系下的面积元素 将 变换到极坐标系 0 D ?i ri ri+1 . . . . . . 利用极坐标计算二重积分 ??i ??i ?i +??i I = ?ri r . . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 用坐标线: ? =常数；r =常数 分割区域 D 第四页，编辑于星期二：二十一点 九分。 怎样利用极坐标计算二重积分(1) 1.极点不在区域 D 的内部 0 A B F E ? ? ? D D: r r 第五页，编辑于星期二：二十一点 九分。 0 A B F E ? ? D D: . 1.极点不在区域 D 的内部 r 第六页，编辑于星期二：二十一点 九分。 0 A B F E ? ? D D: . 步骤： 1 从D的图形找出 r, ?上、下限； 2 化被积函数为极坐标形式； 3 面积元素dxdy化为rdrd? . 1.极点不在区域 D 的内部 r 第七页，编辑于星期二：二十一点 九分。 2.极点位于区域 D 的内部 0 ? D r D: 怎样利用极坐标计算二重积分(2) r 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八页，编辑于星期二：二十一点 九分。 ? D: D 0 . 2.极点位于区域 D 的内部 r 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九页，编辑于星期二：二十一点 九分。 ? D: . D 0 步骤： 1 从D的图形找出 r, ?上、下限； 2 化被积函数为极坐标形式； 3 面积元素dxdy化为rdrd? . 2.极点位于区域 D 的内部 r 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十页，编辑于星期二：二十一点 九分。 0 y x 2a ? . . 解 例1. . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （第一象限部分） (极点不在区域 D 的内部) 第十一页，编辑于星期二：二十一点 九分。 此题用直角系算麻烦，需使用极坐标系！ 2 1 D 0 y x D: 变换到极坐标系 . . ? 例2. 计算 D: ? =1和 ? =2 围成 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二页，编辑于星期二：二十一点 九分。 2R 区域边界： x = 0 . 0 y x ? 即 r =2Rsin? r =2Rsin? 例3. . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十三页，编辑于星期二：二十一点 九分。 0 y x 1 2 y =x D . . ? 例4. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十四页，编辑于星期二：二十一点 九分。 0 y x 4 r = 4 cos? r = 8 cos? 8 D ?1 ?2 例5. 计算 y = 2x x = y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十五页，编辑于星期二：二十一点 九分。 0 y x r = 8 cos? D 4 8 . r = 4 cos? ?2 ?1 例5. . 计算 I = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十六页，编辑于星期二：二十一点 九分。 例6 计算 其中D 为由圆 所围成的 及直线 解： 平面闭区域. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十七页，编辑于星期二：二十一点 九分。 例7. 将积分化为极坐标形式 y = R x D1 D2 . . R 0 y x D . . . arctanR . I = I = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 r =R 第十八页，编辑于星期二：二十一点 九分。 若 f ≡1 则可求得D 的面积 思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 答: 问 ? 的变化范围是什么? (1) (2) 机动 目录 上页 下页 返回 结束