高中数学人教A版必修1《探究含参数的二次函数零点的问题》教学设计.docVIP

PAGE PAGE 1 探究含参数的二次函数零点的问题 1、教学目标 1、通过函数图像，深化对方程的实数根与函数的零点转化关系的理解；突破零点存在性定理的理解误区，强化零点存在性定理的应用. 2、初步了解函数零点个数的求解，并进一步分析函数图像的特点，为研究含参数的函数问题作铺垫. 3、探究含有参数的函数零点个数问题，在变化中寻找不变因素． 4、体验数学中的转化思想和数形结合思想的美妙，培养主动交流、合作意识以及善于探索的良好习惯． 2、教学重点与难点 重点：求函数的零点和零点个数；确定函数零点所在区间；零点存在性定理的应用 难点：函数零点的个数，零点存在性定理的应用 3、教学方法 变式教学，讲练结合，小组讨论 4、教学过程 一、回忆旧知（约5min） 1. 函数的零点是（ ） A. ， B. 0，4 C. ，， D. -4，0，4 2. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 答案：1、D 2、B 小结：1、函数零点的定义：把使的实数叫做函数的零点. 故零点不是点，零点也不是. 2、方程的根与函数的零点的关系： 方程有实数根的图像与轴有交点有零点 设计意图：通过两道求零点、确定零点所在区间的问题，初步巩固学生对零点的概念以及零点存在性定理的理解。这两个问题体现了让学生体会代数运算在函数零点问题中的应用。为进一步挖掘函数零点背后的数学思想铺下基础。 二次函数是一类重要的函数，也是我们非常熟悉的一类函数，那么下面就以二次函数为例来进一步探究函数零点的问题，引出课题——含参数的二次函数零点问题． 二、合作探究（约27min） 零点存在性定理：函数在闭区间上的函数图像是连续不断的曲线，且，那么在区间上有零点. 那么，若给定函数，如何证明函数是否有零点？ 设计意图：本环节是函数零点存在性判定定理的一个延伸，目的在于让学生思考，除了以上判定定理的代数运算以外，函数零点个数的判定还有什么等价方法． 探究一（10min） 问题．讨论函数的零点个数．还有什么方法可以证明你的结论呢？ 生：当时，函数零点个数为0个； 当时，函数零点个数为1个； 当时，函数零点的个数为2个. 变式．若函数在上有零点，求的取值范围. 生：当时，函数零点个数为0个； 当时，函数零点个数为1个； 当时，函数零点的个数为0个. 故 小结一：对于问题1，你发现了什么？（函数的零点问题可转化为的解的问题，等价于与两个函数图像交点个数问题） 对于问题2，你发现了什么？（在区间上有零点有解两个函数在区间上有交点） 设计意图：提高学生对解决函数零点问题时的转化意识和数形结合思想的初步应用。问题1、2通过引入参数，引导学生突破判定定理来寻找判定函数零点的等价方法，强化图像在函数问题中的作用，把问题看得更加立体． 探究二（17min） 问题．已知函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围. 解：?若方程有两个相等的实根，则无解； ?若方程有两个不相等的实根，其中上只有一根，则，则； 由， 当时，，方程的根为1和，满足题意； 综上所述，． 变式．函数在上有零点，求实数的取值范围. 解：?当函数在区间内只有一个零点时，或，解得或. ?当函数在区间内有两个不同的零点时，必须满足，，， 解得，且当时，，则有根为和4，满足题意. 综上所述，． 小结二：1、二次函数在存在零点，需要结 合二次函数图像的性质（开口，对称轴，判别式的符号，区间端点的函数值的大小）对零点的个数进行讨论. 2、对于闭区间上的零点问题，需考虑闭区间上的端点是否符合题． 设计意图：通过改变参数在函数中的位置，以及结合定义域的要求，渗透分类讨论的思想，最终使学生更深刻理解零点存在性定理． 三、试一试（5min） 1、的零点的个数 2、若有两个小于2的零点，则的取值范围是 四、课堂小结（3min） 方程的根与函数零点的关系： 方程有实数根的图像与轴有交点有零点，零点不是点，零点也不是. 等价关系：有零点有解有交点. 3、含参数的二次函数零点问题需结合其图像的性质（开口，对称轴，判别式的符号，区间端点所对应的函数值的大小）对零点的个数进行讨论. 五、课后延伸 1、函数的零点的个数是 2、已知二次方程有两根，且一根大于2，一根小于2，求的取值范围． 3、已知在上有零点，求的取值范围． 思考题．函数在有且只有一个零点，求的取值范围．