12讲通关中考数学几何模型（费马点，胡不归，阿氏圆）.pdf

中考数学几何模型 1：截长补短模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或差”及其比例关系. 这一类题目一般可以采 取“截长”或“补短”的方法来进行求解. 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条 线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系. 所谓“补短”，就是将一个已知的 较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等. 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系. 有 的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解. 典题探究 启迪思维 探究重点 例题1. 如图，AB∥CD，BE 平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E 在AD 上． 求证：（1）BE⊥CE；（2）BC＝AB+CD． 变式练习 已知△ 的内角平分线 交 于 ，∠ ∠ 求证： 1. ABC AD BC D B=2 C. AB+BD=AC. 例题2. 已知△ABC 中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC 和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE， CD，BC 的数量关系，并说明理由． 变式练习 2. 已知：△ABC 中，AB＝AC，D 为△ABC 外一点，且∠ABD＝60°，∠ADB＝90°﹣ ∠BDC．试判断线 段CD、BD 与AB 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 例题3. 如图所示，在五边形ABCDE 中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°，求证：DA 平分 ∠CDE． 变式练习 3. 如图，△ABC 是等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，M 是AB 延长线上一点，N 是 CA延长线上一点，且∠MDN＝60°．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明． 例题4. 在四边形ABDE 中，C是BD 边的中点． （1）如图（1），若AC 平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE 的长度满足的数量关系为 ；（直接写出答案） （2）如图（2），AC 平分∠BAE，EC 平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE 的长度满 足怎样的数量关系？写出结论并证明； （3）如图（3），BD＝8，AB＝2，DE＝8，若ACE＝135°，求线段AE 长度的最大值． 例题5.在△ABC 中，∠BAC＝90°． （1）如图1，直线l 是BC 的垂直平分线，请在图1 中画出点A 关于直线l 的对称点A′，连接A′C，A′ B，A′C与AB 交于点E； （2）将图1 中的直线A′B 沿着EC 方向平移，与直线EC 交于点D，与直线BC 交于点F，过点F 作直线 AB 的垂线，垂足为点H． ①如图2，若点D 在线段EC 上，请猜想线段FH，DF，AC 之间的数量关系，并证明； ②若点D 在线段EC 的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC 之间的数量关系． 例题6. 如图1，在△ABC 中，∠ACB＝2∠B，∠BAC 的平分线AO 交BC 于点D，点H 为AO 上一动点， 过点H 作直线l⊥AO 于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M． （1）当直线l 经过点C 时（如图2），求证：BN＝CD； （2）当M 是BC 中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明； （3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系． 达标检测 领悟提升 强化落实 1. 如图，在△ABC 中，∠BAC＝60°，AD 是∠BAC 的平分线，且AC＝AB+BD，求∠ABC 的度数． 2. 如图，在四边形ABCD 中，AB∥DC，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF，AF 与DC 的延长线相交于点F，试 探究线段AB 与AF，CF 之间的数量关系，并证明你的结论. 3. 如图，△ABC 是等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角∠ NDM，角的两边分别交AB、AC 边于M、N 两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加 以证明． 4