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中考数学 -- 整体思想练习 334 3 3 4 x 3 中考数学专项讲解 整体思想 知识梳理 整体思想就是在解决数学问题时，将要解决的问题 看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已 知条件和所求综合考虑后． 得出结论． 整体思想的应用， 要做到观察全局、整体代入、整体换元、整体构造．整 体思想作为重要的数学思想之一，我们在解题过程中经 常使用． 整体思想使用得恰当， 能提高解题效率和能力， 减少不必要的计算和走弯路，直奔主题．因而在处理数 与式的运算、方程、几何计算等方面有着广泛应用．是 初中数学学习中的重要思想方法． 典型例题 一、在数与式的运算中的应用 【例 1】 已知代数式 为 ( ) A． 18 3x2－4x+6 B． B 的值为 9，则 x2 4 x 6 的值 12 C． 9 D． 7 【分析】 如果根据题意直接求出 x 再代入到 x2 4 x 6 中 求值将非常麻烦，特别是 x 为一个无理数．考虑到由题 意 3x2－4x=3 成立，而 3x2－4x 是x2 x 的 3 倍，所以可 以将 x2 4 x 看作一个整体，则 x2 x 2 6 1 6 7． 3 2a，a a 2a 2a1． 2a ， a a 2 a 2a 1． a 2a 1． 4 2008 2 3 1 1 1 1 4 2007 1 1 1 【解】 D 此题是灵活运用数学方法，解题技巧求值的问 题，首先要观察一直条件和需要求解的代数式，然后将 已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用主题带入 法即可得解 【练习】 先化简，再求值 其中a 满足a 2－2a －1=0． a a2 2 2a a 1 a a2 4a 4 a 4 ， 2 【分析】 对分式进行化筒结果为 a a 2 体值再代入计算会很麻烦，但如果把 1 如果把 a 求出具 a 2 －2a 看成一个整 体，则由已知可得 【解】原式 = a 2 a 2 －2a =1，所以原式 = 2 1 a 1 a 4 a 4 a 2 1 a 2 2 a 2 a a 2 2 a 4 a2 2a 当a 2－ 2a =1 时，原式 = 2 1 【例 2】 计算： 1 1 2 3 1 1 1 1 … 1 4 2008 2 3 1 1 … 4 2007 1 1 1 … + 1 2 3 4 2008 1 1 1 ? + 1 2 3 4 2007 【分析】 如果直接计算，运算量非常大，观察括号内 的算式的特征．考虑用“整体替换” ． 【解】设： 1 1 2 3 … + a， … + b， 3 1xx1，x 1 x x 1 ， x 则原式 =a (1+b) －(1+a)b= a －b= 20108． 二、在方程中的应用 【例 3】 (08 绍兴)若买 2 支圆珠笔、 1 本日记本需 4 元； 买 1 支圆珠笔、 2 本日记本需 5 元，则买 4 支圆珠笔、 4 本 日记本需 __________元． 【分析】 设日记本、圆珠笔的单价分别为 x 元， y 元， 根据题意得方程组： ，如果解出 x 和 y 再求 4 支 圆珠笔、 4 本日记本需多少元完全可以，但只要我们细 心观察只要将方程的两式相加得 3x+3y=9，这样可得 x+y=3， 即圆珠笔和日记本的单价和为 3， 把它作为一个 整体直接乘以 4