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第二节 齐次线性方程组;一、齐次线性方程组有非零解的条件;若记 则 齐次线性方程组可表示为 Ax=0 (2) 其中矩阵A称为齐次线性方程组的系数矩阵。 ;假设其系数矩阵的秩R（A）= r ＞0，为了方便起见，不妨设 由于上面假设D≠0，即系数矩阵A的前r列列向量线性无关，因此经过有限次初等行变换可得矩阵A的行最简形为 ;由于A和B的行向量组等价，于是（1）与如下的 方程组同解： 其中xr+1，…，xn可取任意实数，称为自由未知 量。 ;由上面的讨论，我们可容易得到如下定理： 定理1 齐次线性方程组（1），当它的系数矩阵 的秩r=n时，只有零解；当它的系数矩阵的秩r＜n 时，有无穷多个解。 我们还不难得到以下结论：齐次线性方程组总 有解；齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是R （A）＜n；当齐次线性方程组中m＜n，齐次线性方 程组有非零解。 并可得到下面的推论 推论 n个变量n个方程的齐次线性方程组有非零解的 充分必要条件是其系数行列式等于零。;到现在为止，对于齐次线性方程组，我们已解决了在本章开始时提出的三个问题中的前两个问题。当齐次线性方程组有无穷多个解时，如何描述它的所有的解呢？下面我们对解的情况进行讨论，即讨论第三个问题。 ;二、齐次线性方程组解的结构;由此结论可知，所有齐次线性方程组（2）的解向量的集合形成了一向量空间，此空间称为齐次线性方程组（2）的解空间。而由此我们又想到，如果我们找到了此解空间的基，便能将齐次线性方程组（2）的解向量一并表示出来，我们将齐次线性方程组（2）的解空间的基称为基础解系。 ;假定ξ1，ξ2，…，ξk为齐次线性方程组（2）的k个解向量，如果 （a）? ξ1，ξ2，…，ξk线性无关； （b）? 齐次线性方程组（2）的任意解向量是ξ1，ξ2，…，ξk的线性组合， 则称ξ1，ξ2，…，ξk为齐次线性方程组（2）的一个基础解系。 ;一个向量空间的基应该不是唯一的，则齐次线性方程组的基础解系也不是唯一的，但其所包含的解向量的个数应该是相同的。下面我们将讨论如何求解齐次线性方程组的基础解系，亦???最终实现用有限个解向量来表示齐次线性方程组的无穷多个解向量。 ;令x=（x1，x2，…，xn）‘是齐次线性方程组（1）的任意解，由（3）式得： ;以上结论说明，齐次线性方程组（1）的任意解 均为ξ1，ξ2，…，ξn-r的线性组合。 如果我们能说明ξ1，ξ2，…，ξn-r是齐次线 性方程组（1）的解，并且它们线性无关，那么 ξ1，ξ2，…，ξn-r就是齐次线性方程组（1）的 基础解系。 但由ξ1，ξ2，…，ξn-r的取法这两 个条件是显然满足的。 ; 我们将以上所得到的结论总结成以下定理： 定理3 如果齐次线性方程组（1）的系数矩阵的秩r=n，它有唯一零解，此时它没有基础解系；如果齐次线性方程组（1）的系数矩阵的秩r＜n，它有无穷多个解，此时它有基础解系，其基础解系包含n-r个解向量，齐次线性方程组（1）的任意解为其基础解系的线性组合。 ;定理3也表明，基础解系的任意线性组合表达了 齐次线性方程组（1）的所有解，由此有通解这 一概念。 如果ξ1，ξ2，…，ξn-r为齐次线性方程组 （1）的基础解系，则其任意线性组合 x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r （k1，k2，…，kn-r为任意实数） 称为齐次线性方程组（1）的通解。 ;求齐次线性方程组的基础解系有以下步骤： 用初等行变换将齐次线性方程组（1）的系数矩阵化为行最简形，以此得到齐次线性方程组（1）同解的方程组，即得到(3)的形式； 根据(3)的特殊形式写出其基础解系和通解。 ;例1 求解齐次线性方程组 解 对系数矩阵施行初等行变换成为行最简形： ;于是得到与原方程组同解的方程组 ;令x3=k1，x4=k2，可把它写成通常的参数形 式， 其中k1，k2为任意实数，或写成向量形式 ;原方程组的基础解系为