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初中数学常用思想方法专题讲解 引入语 数学思想方法是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应 用数学知识和技能 的灵魂 ?正确运用数学思想方法是在中考数学中取得好成绩的关键 ?解中考题时常用的 数学思想方法有：整体思想、分类讨论思想、方程思想、转化的思想、数形结合思想、归纳与猜想的思想 等? 中考解读 数学思想是解决数学问题的灵魂，它在学习和运用数学知识的过程中起着关键性的指导作用 ?数学思 想方法是中考考查的重点内容之一， 还因为它是解决数学问题的根本策略， 也是学生数学素养的重要组成 部分 .数学思想总是在解决问题的过程中体现出来，在中考中不会出现单纯的数学思想题目，这就增加了 数学思想的掌握和训 练的难度，但它也是有规律的，只要勤于思考和总结，经过适当的训练，相信你一定 能够掌握初中数学常用的思想方法 ? 回顾近年全国各地的中考题，不难发现数学思想方法的考查频率越来 越高，涉及的知识点也越来越多 ?预计 2009 年中考，对数学思想方法的考查可能呈现以下趋势： 需要利用 数学思想求解的题目稳中有增，涉及的知识点更加分散 ?其中，函数与方程思想的考查，很可能集中体现 在应用题中；数形结合思想的考查以选择和填空为主；分类讨论思想的考查主要在求解函数、不等式、空 间与图形、概率等问 题中出现； ，总之，数学思想的掌握和训练应引起同学们的重视 复习策略 由于数学思想总是渗透在问题中， 所以复习中要抓关键类型，突出重点知识和方法，比如方程思想与 函数思想的联合复习等；要注意挖掘课本例、习题的潜在功能，以题思法，推敲其中的思想方法，多角度 多侧面探讨条件的加 强与弱化、结论的开放与变换、蕴含的思想方法、及与其他试题的联系和区别等，提 高复习的效率 ? 题型归类 一、整体的思想 整体思想是将问题看成一个完整的整体， 把注意力和着眼点放在问题的整体结构和结构改造上， 从整 体上把握问题的内容和解题的方向与策略 .运用整体思想解题，往往能为许多中考题找到简便的解法 ? x 2 心 x2 x 2J § 例 1 （苏州市）若 x2 川 （ X 2 x ） 2 1 一 的值等于（ ） 0 3 A 23 C .3 -.3 A. - B」 D . 或二 3 3 3 分析：已知条件是一个一兀二 . 次方程， 通过求出方程的解再代入计算， 当然可以得到结果， 但是显然很繁 注意到，条件可以转化为 X 2 x 2 ，而且要求值的代数式中的未知部分都是 X 2 x ，所以可以整体代入 2 2X/3 2 2\/3 2 “31 2/3 x 2 x x x 解：由条件得： x2 ：一 2—3 —= 2 - = _ - = △ ?故应选 A. ，所以一 —— （x2 x）2 1 V3 22 1 V3 V3 V3 1 3 评注：从结构上对题目的条件和问题进行全面、深刻的分析和改造是应用整体思想的基础和关键 ? 二、 分类讨论思想 分类讨论就是按照一定的标准， 把研究对象分成为数不多的几个部分或几种情况， 然后逐个加以解决， 最后予以总结作出结论的思想方法 ?其实质是化整为零，各个击破，化大难为小难的的策略 例 2 （南京市）若等腰三角形的一个外角为 70°，则它的底角为 ____________度. 分析：由于题目没有交代这个外角是顶角的外角还是底角的外角， 所以要分两种情况分别计算并讨论 是否符合题意 ? 解：⑴当顶角的外角是 70°时，根据 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”知两个底 角的和为 70°, 所以每个底角为 35 °; ⑵当底角的外角为 70 °时，每个底角都是 110 °, 这与三角形内 角和定理相矛盾 .故应填： 35. 评注：分类的原则是“不重不漏”，对每一种情况都要分析 . 三、 方程思想 方程是初中数学的重要内容，它内容丰富，涉及面广，综合性强，因而用方程思想解数学题有广泛的 应用 .利用方程思想 的基本类型有：通过列方程或方程组求出待定系数，进而求出函数的解析式；研究函 数图象的交点、解决二次函数图象与 x 轴交点的有关问题 .方程思想在解决几何问题时也经常用到 .所谓用 方程思想解几何题，就是充分挖掘条件和结论中隐含的数量关系， 借助图形的直观性质，寻求已知量与未 知量之间的等量关系，从而列出方程（组） ，然后解出方程，进而使几何题得到解决 . 例 3 （龙岩市）一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是 _________________ 边形 . 分析：由于任意多边形的外角和都是 360 ° , 而n 边形的内角和是 n 2 080 ° , 从而列出方程求解. 解：设这个多边形是 n 边形，根据题意，得： n 2 gl8O =360 ，解得 n =4. 评注：几何