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11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
【知识与技能】
1.掌握三角形的内角和定理.
2.能写出已知、求证,并能用作辅助线的方法证明三角形内角和定理.
3.能运用三角形内角和定理进行简单的证明或计算.
【过程与方法】
先通过实验得出三角形内角之和等于180°的直观结论,再由此得到启发,用过三角形的一个顶点作平行线的方法证明三角形的内角和定理.最后运用三角形的内角和定理进行简单的证明或计算.
【情感态度】
本节课使学生经历了“实验——猜想——证明”的过程,使同学们初步体验了自然科学的一般研究方法,提高了学生研究和学习的兴趣.
【教学重点】
本节的重点是三角形的内角和定理.
【教学难点】
证明三角形的内角和定理.
一、情境导入,初步认识
问题1 在纸上画一个三角形,并将它的内角剪两个下来,与第三个角拼在一起,观察三个角的和是多少?
问题2 怎样证明三角形内角的和等于180°?
【教学说明】全班学生分组实验,约8分钟交流成果,得出“三角形的内角和等于180°”这个直观结论.
由实验过程中的拼合过程得到启发,引导同学们运用所学的知识证明“三角形内角和等于180°”.教师讲课前,先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究,获取新知
思考 1.对一个命题进行证明的一般格式是怎样的?
2.除教材以外还有其它方法证明这个结论吗?
3.对一个真命题为什么还要证明呢?
【归纳结论】1.对一个命题的证明的一般格式是:(1)画出图形,根据图形写出已知和求证.(2)写出证明过程.
2.除教材以外,还可以用如下作辅助线的方法证明三角形的内角和定理.
(延长BC至D,过C作CE∥AB)
3.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.
4.一个命题是否正确,需要经过理由充足,使人信服的推理才能得出结论,这样的推论过程叫做“证明”.观察、试验等是发现规律的重要途径,而证明则是确认规律的必要步骤.
5.辅助线在几何证明中发挥巨大的作用,今后我们会经常遇到这个“朋友”.
三、运用新知,深化理解
1.如图,AB∥CD,∠C=80°,∠CAD=60°,则∠BAD的度数等于( )
A.60°
B.50°
C.45°
D.40°
2.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5,求∠A,∠B,∠C的度数.
3.如图,已知△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线BD,CE相交于O,∠A=50°,求∠BOC的度数.
4.如图,△ABC中,AD是BC边上的高,AE平分∠BAC,∠B=75°,∠C=45°,求∠DAE与∠AEC的度数.
5.如图,AD、CE是△ABC的角平分线,AD、CE交于点O.求证:∠AOC=90°+12∠B.
【教学说明】本环节由学生独立思考、自主完成,再进行交流讨论,最后教师给予指导和总结.初学证明,让学生体会证明的逻辑性和严谨性.
【答案】1.D
2.解:∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5,设∠A=x,∠B=3x,∠C=5x,由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C=x+3x+5x=180°
解得x=20°,则3x=60°,5x=100°,即∠A=20°,∠B=60°,∠C=100°.
3.解:由三角形内角和定理有∠B+∠C=180°-∠A=130°,
∠BOC=180°-(∠DBC+∠ECB)=180°-(∠B+∠C)=115°.
4.解:∠A=180°-∠B-∠C=60°,∠BAE=∠CAE=∠A=30°.
∠BAD=180°-∠B-∠ADB=15°,则∠DAE=∠BAE-∠BAD=15°.
∠AEC=180°-∠C-∠CAE=105°.
5.证明:由三角形内角和定理得
∠B+∠A+∠C=180°即∠A+∠C=180°-∠B,
∠AOC+∠DAC+∠ECA=180°即∠DAC+∠ECA=180°-∠AOC,
又∠DAC=∠A,∠ECA=∠C
∴180°-∠AOC=(180°-∠B)
即∠AOC=90°+∠B
四、师生互动,课堂小结
1.三角形内角和定理:三角形内角和等于180°.
2.证明三角形的内角和定理必须作辅助线,也就说要作出平行线,利用平角来证明,一般来说,共有如下四种方法(如图):
(1)构造平角
①如图(1),过点A作直线MN∥BC,有∠1=∠B,∠2=∠C.
而∠1+∠BAC+∠2=∠MAN=180°,
所以∠BAC+∠B+∠C=180°.
②如图(2),过BC上一点D作DF∥AB交AC于F,作DE∥AC交AB于E,
则∠1=∠C,∠2=∠B,∠3=∠4=∠A.
所以∠A+∠B+∠C=∠3+∠2+∠1=180°.
(2)构造邻补角
如图(3),延长BC到D,作CE∥AB,则∠1=∠A,∠2=∠B.
所以∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°.
(3)构造同旁内角
如图(4),过C点作射线CD∥AB
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