概率论2016第二周.ppt

§1.3 条件概率与事件的独立性 在解决许多概率问题时, 往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率。 1.3.1 条件概率 如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率, 将此概率记作P(A|B)。 * * P(A)=1/6, 例如, 掷一颗均匀骰子, A={掷出2点}, B={掷出偶数点}, P(A|B)=? 掷骰子 已知事件B发生, 此时试验所有可能结果构成的集合就是B, 于是P(A|B)= 1/3. B中共有3个元素, 它们的出现是等可能的, 其中只有1个在集A中, * * 若事件B已发生, 则为使A也发生, 试验结果必须是既在B 中又在A中的样本点, 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间, 于是有(1)。 为在事件B发生的条件下, 事件A的条件概率。 定义 设A、B是两个事件, 且P(B)0, 则 称 (1) * * 注意P(AB)与P(A|B)的区别！ 例 1 甲乙两厂共同生产1000个零件, 其中300件是乙厂生产的. 而在这300个零件中, 有189个是标准件, 现从这1000个零件中任取一个, 问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少? 所求为P(AB). B={零件是乙厂生产} 设A={零件是标准件} 若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?” 求的是 P(A|B)!! * * 求A和B同时发生的概率。 仅求A的概率 * 可以证明，对于事件 B（ P( B ) 0 ），条件概率 P ( ? | B ) 也满足概率的三条公理： （1）规范性：P( ? | B ) = 1； （2）非负性： P( A | B ) ? 0； （3）可列可加性：设 A1 ，A2 ，… ，An ，… 是可列个两两互不相容的事件，则 * * 由此出发，也可以推导出条件概率的一些性质，如： 条件概率满足普通概率的一切性质，因为条件概率 也是概率，满足概率的三条公理！ P ( ? | B) = 0 ； P (?A ? B ) = 1 – P ( A | B ) ； P ( A1 ∪ A2 | B ) = P ( A1 | B ) + P ( A2 | B) – P ( A1A2 | B ) * * 例3 据统计甲、乙两城市在一年中雨天的比例为：甲城市占 20%，乙城市占 18%，两城市同时下雨占 12%。求下列百分比： （1）只有甲城市下雨； （2）只有一个城市下雨； （3）至少有一个城市下雨；（4）两城市都不下雨； （5）在乙城市下雨的条件下，甲城市也下雨； （6）在甲城市下雨的条件下，乙城市也下雨。 解： 记 A = 甲城市下雨；B = 乙城市下雨。 则 P(A)=20%=0.2，P(B)=18%=0.18；P(AB)=12%=0.12 。 * * 记 A —— 甲城市下雨；B —— 乙城市下雨。 则 P(A)=20%=0.2，P(B)=18%=0.18；P(AB)=12%=0.12 。 （2）只有一个城市下雨； （3）至少有一个城市下雨； P( A∪B ) （4）两城市都不下雨； * = 0.26 = P(A) + P(B) – P(AB) * 记 A —— 甲城市下雨；B —— 乙城市下雨。 则 P(A)=20%=0.2，P(B)=18%=0.18；P(AB)=12%=0.12 。 （5）在乙城市下雨的条件下，甲城市也下雨； P(A|B) = P(AB) / P(B) = 2 / 3 （6）在甲城市下雨的条件下，乙城市也下雨。 P(B|A) = P(BA) / P(A) = 0.6 * 由条件概率的定义: 即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2) 而 P(AB)=P(BA) 1.3.2 乘法公式 若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB)。 将A、B的位置对调, 有 故 P(A)0, 则P(AB)=P(A)P(B|A) (3) 若 P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A) 记忆：左边的概率乘以右边的以左边为条件的概率。 即 若P(B)0,则P(BA)=P(B)P(A|B) (2) * * * 记忆：左边有多少事件，就以这些事件的交做条件 设事件 A1，A2，…，An 满足 P( A1A2…An?1 ) 0，则 P(A1A2…An) = P(A1) P