概率论2016第十二周.ppt

例12 设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中有放回地任取n件,求其中恰有k件次品的概率 常见随机变量的数学期望(教材P123) 分布 期望 概率分布 参数为p 的 0-1分布 p B(n,p) np P(?) ? * * 分布 期望 概率密度 区间(a,b)上的 均匀分布 E(?) N(?,? 2) * * 引例 甲、乙两射手各打了6发子弹,每发子弹击中的环数分别为： 甲 10, 7, 9, 8, 10, 6 乙 8, 7, 10, 9, 8, 8 问哪一个射手的技术较好？ 解：首先比较平均环数 甲 = 8.3, 乙 = 8.3 §4.2 方差 （P119） * * 再比较稳定程度 甲： 乙： 故乙技术较好。 进一步比较平均偏离平均值的程度： 甲 乙 E [X - E(X)]2 * * 若E (X - E(X))2 存在, 则称其为随机变量X 的方差, 称 为 X 的均方差或标准差。(P119) 定义 即 D X = E (X - E(X) ) 2 记为D X 两者量纲相同 DX —— 描述随机变量X 的取值偏离平均值的平均偏离程度 —— 数。 * * * 离散型随机变量的方差： 连续型随机变量的方差： 随机变量方差的计算 1 利用定义计算 * * 证明： 2 利用公式计算(P120) * * 例1 已知随机变量X的分布律如下,求DX 。 X ﹣2 ﹣1 0 1 2 Pk 1/16 2/16 3/16 2/16 8/16 解 数学期望EX =7/8 * 例2 设X~ ,求 EX，DX 解 (1)EX= =1 (2)EX2 = DX=EX2-(EX)2 * * * 例3 1 0 * 例4 设 求 E Y, DY 解 * * * 例5 设随机变量 具有 分布,其分布律为 求 解： * * 例6 设 求 解： 的分布律为 则 * * 例7 设 求 解 的密度函数为 * * 例8 设随机变量X服从指数分布,其密度函数为 * P98 练习4.1 题1,2,3,6,8,9,10,11,12 P116 习题四 三 计算题 2,8 五 证明题 2 * * 第十二周作业 * * * * * * * * * 第七周 随机变量的概念与离散型随机变量 第十二周 期望与方差 第十二周 期望与方差 第十二周 期望与方差 * * 第四章 第九周 Probability and mathematical statistics * * * 第4章 随机变量(向量)的数字特征 §4.1 随机变量的数学期望 §4.3 随机向量的数字特征 §4.2 随机变量的方差 * 随机变量的平均取值 —— 数学期望 随机变量取值平均偏离平均值的情况 —— 方差 描述两个随机变量之间的某种关系的 数 —— 协方差与相关系数 本 章 内 容 随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写 * * §4.1 随机变量的数学期望 加 权 平 均 初 赛 复 赛 决 赛 算术 平均 甲 乙 90 85 53 228 88 80 57 225 胜者 甲 甲 乙 甲 甲 2:3:5 70.0 70.1 乙 引例 学生甲乙参加数学竞赛, 观察其胜负。 * * 总成绩 76 75 称 为这3个数字的加权平均，数学期望的概念源于此。 设 X 为离散型随机变量，其分布律为： 若无穷级数 记作 E X, 即 一 数学期望的定义 绝对收敛, 则称其和为X 的数学期望， * * 定义 设连续型随机变量X 的密度函数为 若广义积分 绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望,记作 E X, 即 数学期望的本质 —— 加权平均, 它是一个数,不再是随机变量。 定义 * * 例1：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取1只，求在取到正品之前已经扔掉的废品数X的期望。 解：X 可取0,1,2, 则X 的分布律为： 例2： 例3 设随机变量X~E(λ),求EX. 解 X的密度函数为 EX * * 例4 X ~ N ( ? , ? 2 ), 求 E X 关于u是奇函数 * * 解: * 所以, Cauchy分布的数学期望不存在。 Cauchy分布 注意：不是所有的随机变量都有数学期望。（P114） * 1 设离散型随机变量 X 的分布律为 2 设连续型随机变量X的 密度函数为 二 随机变量函数的数学期望(P114定理4.1.1) * * 一重和 定积分 3 设离散型随机向量 (X ,Y ) 的联合分布律为 * * 4 设连续型随机