概率论2016第十四周.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 第七周 随机变量的概念与离散型随机变量 * * 1切比雪夫 大数定律 切比雪夫大数 定律的推论 2伯努里大数定律 3辛钦大数定律 § 5.2 中心极限定理（P140） 一、莱维中心极限定理 二、棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理 * * 在第二章，我们学了随机变量分布的极限分布的两个例子： , 则对固定的 k，有 （2）Possion定理: 本节中我们要继续学习极限分布问题。 * * * （2）设 X ~ B(n1,p), Y ~ B(n2,p), 且 X ,Y 相互独立, 则 X + Y ~ B(n1+n2, p); （1）设 X ~ P (?1), Y ~P(?2), 且 X ,Y 相互独立, 则 X + Y ~ P(?1+ ?2) ; （3）设X~N(0，1) ,Y ~N(0，1) ，且 X ,Y 相互独立, 则 X+Y ~N(0，2)。 在第三章，我们学了两个独立随机变量之和的精确分布的例子： 这些例子称为独立随机变量的可加性。可以推广到n个和，当n→∝时，会出现何种极限分布？ 下面先举两个例子： * O x -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 记 则 近似 共15层小钉 例1 * * 面对复杂的问题怎样处理？ “当人类科学探索者在问题的丛林中遇到难以逾越的障碍时，唯有统计工具可为其开辟一条前进的通道”。 ---英国著名遗传学家Galton (1822-1911) * * 例2 一枚均匀的骰子连掷 n 次,点数之和为 = 第k 次出现的点数， k =1,2,…,n * * * 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P * * * * * 在现实中为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布 研究发现这些指标通常是由大量相互独立的随机因素综合影响而成,即 近似 当 时,在什么情况下 的极限分布是正态分布？ 的极限分布是 中心极限定理研究： 实际背景 标准化 * * * 概率论中,把在一定条件下大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理,称为中心极限定理。 * * 设 是独立随机变量序列,期望和方差都存在 一般地，答案是否定的，例如： 除非 服从正态分布，否则结论就不真。 * 一 莱维中心极限定理（P141） 设随机变量序列X1, X2,…, Xn, … 独立同分布，且 * 则 服从中心极限定理。即标准化 即“若随机变量序列X1, X2,…, Xn, …满足①独立同分布，且②期望与方差存在，则服从中心极限定理”。 * * 练习 * * * 林德伯格条件(P140) 设独立随机变量序列 有数学期望和方差， 林德伯格条件的含义 小结：当随机变量可以表示为大量的独立 随机变量之和，且单个变量所起作用微小， 则这个随机变量服从正态分布。 * * 莱维中心极限定理满足林德伯格条件 若随机变量序列X1, X2,…, Xn, …满足①独立同分布，且②期望与方差存在，则服从中心极限定理”。 例3 设有30个电子元件,它们的寿命均服从参数为0.1的指数分布(单位:小时),每个元件工作相互独立,求他们的寿命之和超过350小时的概率。 解 由莱维中心极限定理得 * * 标准正态分布表P311 他们的寿命之和超过350小时的概率 * * x 0.01 0.9 8165 例4 售报员在报摊上卖报, 已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3。 令X 是出售了100份报时过路人的数目，求 P (280 ? X ? 320)。 解 令Xi 为售出了第 i – 1 份报纸后到售出第i 份报纸时的过路人数,i = 1,2,…,100 相互独立, 由莱维中心极限定理, 有 * * * 【解】： 由莱维中心极限定理，有 * 二、棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理(P143) 证明 由于 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理是棣莫弗于1730年给出的概率论历史上第一个中心极限定理.在此后的大约200年中，有关对独立随机变量和的极限分布的讨论一直是概率论研究的中心，故称为“中心极限定理”。 * * （2） 由棣莫弗-拉普拉斯定理，知 例6 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人 数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15。若 学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相互 独立,且服从同一分布。 求参加会议的家长数X超过450的概率； (2) 求有1名家长来参加会议的学生数不多于34