2020高考数学(文)”一本“培养专题限时集训10圆锥曲线中的综合问题Word版含解析.docVIP

2020高考数学(文)”一本“培养专题限时集训10圆锥曲线中的综合问题Word版含解析 2020高考数学(文)”一本“培养专题限时集训10圆锥曲线中的综合问题Word版含解析 PAGE / NUMPAGES 2020高考数学(文)”一本“培养专题限时集训10圆锥曲线中的综合问题Word版含解析 专题限时集训 (十 ) 圆锥曲线中的综合 问题 (建议用时： 60 分钟 ) x2 y2 2 1． (2018 ·北京模拟 )已知椭圆 C： a2 ＋b2＝ 1(a＞ b＞ 0)的离心率为 2 ，且过点 2 1， 2 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)过椭圆 C 的左焦点的直线 l1 与椭圆 C 交于 A， B 两点，直线 l2 过坐标原点 且与直线 l 1 的斜率互为相反数．若直线 l2 与椭圆交于 E， F 两点且均不与点 A，B重合，设直线 AE 与 x 轴所成的锐角为 θ1，直线 BF 与 x 轴所成的锐角为 θ2，判断θ1与 θ2的大小关系并加以证明． c 2 a＝ 2 ， a＝ 2 [ 解] (1)由题可得 2 2 . 1 2 解得 b＝1 a2＋ b2 ＝ 1， c＝1 a2＝b2＋ c2， x2 2 所以椭圆 C 的方程为 2＋ y ＝1. (2)结论： θ1＝θ2，理由如下： 由题知直线 l 1 斜率存在， 设 l1：y＝k(x＋1)，A(x1，y1)， B(x2 ，y2)． y＝ k x＋1 联立  x2＋2y2＝2  ， 消去 y 得 (1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0， 由题易知 ＞0 恒成立， 2 2 x1＋x2＝－ 4k ，x1x2＝ 2k － 2 由根与系数的关系得 ， 1＋2k2 1＋ 2k2 因为 l 2 与 l1 斜率相反且过原点， 设 l2：y＝－ kx，E(x3，y3)，F(x4， y4 )， 联立  y＝－ kx x2＋2y2＝2 消去 y 得 (1＋2k2)x2－2＝0， 由题易知 ＞0 恒成立， － 2 由根与系数的关系得 x3＋x4＝0，x3x4＝1＋2k2， 因为 E，F 两点不与 A，B 重合， 所以直线 AE，BF 存在斜率 kAE，kBF， 则 kAE＋kBF x1＋x3＋ 1 x2＋ x3 ＋ x2－x3＋ 1 x1－x3 k· x1－x3 x2＋ x3 2x1x2＋ 2x23＋ x1＋x2 k· x1－x3 x2＋ x3 2 2k2－ 2 ＋ 2×22＋ － 4k2 1＋2k 2 2 1＋2k 1＋2k ＝ k· ＝0， x1－x3 x2＋x3 所以直线 AE，BF 的倾斜角互补，所以 θ1＝θ2. 2．(2018 ·枣庄模拟 )已知抛物线 C：y2 ＝2px(0p1)上的点 P(m,1)到其焦点 F 5 的距离为 4. (1)求 C 的方程； (2)已知直线 l 不过点 P 且与 C 相交于 A，B 两点，且直线 PA 与直线 PB 的斜率之积为 1，证明： l 过定点． 1 [ 解] (1)由题意，得 2pm＝1，即 m＝ 2p. 1 p 由抛物线的定义，得 |PF|＝ m－ － 2 ＝2p＋ 2. 由题意， 1 ＋p＝5，解得 p＝1，或 p＝ 2(舍去 )． 2p 2 4 2 所以 C 的方程为 y2＝x. (2)证明：设直线 PA 的斜率为 k(显然 k≠0)，则直线 PA 的方程为 y－1＝k(x－ 1)，则 y＝ kx＋1－k. 由 y＝kx＋ 1－ k 消去 y 并整理得 k2x2＋[2k(1－k)－ 1]x＋ (1－k)2＝0. y2＝ x 设 A(x1， y1)，由根与系数的关系，得 1× x1＝ 1－k 2 ，即 x1＝ 1－ k 2 2 2 . k k 1－k 2 1 2 1 1 所以 A 1－k 2 1 . k2 ，－ 1＋k 1 由题意，直线 PB 的斜率为 k. 1 2 同理可得 B 1－k 1 ， 1 ，－ 1＋ 1 2 k k 即 B((k－ 1)2，k－1)． 若直线 l 的斜率不存在，则 1－k 2 ＝(k－1)2. k 2 解得 k＝1，或 k＝－ 1. 当 k＝1 时，直线 PA 与直线 PB 的斜率均为 1，A，B 两点重合，与题意不符；当 k＝－ 1 时，直线 PA 与直线 PB 的斜率均为－ 1，A，B 两点重合，与题意不 符． 所以，直线 l 的斜率必存在． 直线 l 的方程为 y－ (k－1)＝ k 2[x－ k－1 2]，即 y＝ k 1 2x－1. k－1 k－ 所以直线 l 过定点 (0，－ 1)． 3．(2018 ·郑州模拟 )已知动圆 E 经过点 F(1,0)，且和直线 l：x＝－ 1 相切． (1)求该动圆圆心 E 的轨迹 G 的方程； (2)已知点 A