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(全国通用版)2019高考数学二轮复习专题七系列4选讲第1讲坐标系与参数方程学案理 (全国通用版)2019高考数学二轮复习专题七系列4选讲第1讲坐标系与参数方程学案理 (全国通用版)2019高考数学二轮复习专题七系列4选讲第1讲坐标系与参数方程学案理 第 1 讲 坐标系与参数方程 [ 考情考向剖析 ] 高考主要考察平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与一般方程的互化、常有曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与一般方程的互化为主要考察形式,同时考察直线与曲线的地点关系等分析几何知识. 热门一 极坐标与直角坐标的互化 直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点, x 轴的正半轴作为极轴,且在两坐标系中取同样的长度单位.如图, 设 是平面内的随意一点,它的直角坐标、极坐标分别为( x , ) 和 ( ρ ,θ ) , M y x= ρ cos θ , ρ 2= x2+y2, 则 y y=ρ sin tan x≠0. θ, θ = x x = + 3cos t , ( t 例 1 (2018 ·佛山模拟 ) 在直角坐标系 xOy中,曲线 C1 的参数方程为 y= 3sin t 为参数, 0) .以坐标原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 上一点 A 1 的极坐标为 π ,曲线 2 的极坐标方程为 ρ= cos θ. 1, 3 C 求曲线 C1 的极坐标方程; (2) 设点 , 在 1 上,点 P 在 2 上( 异于极点 ) ,若 , , , N 四点挨次在同一条直线 l 上, M N C C O M P 且 | | , | | ,| | 成等比数列,求 l 的极坐标方程. MP OP PN 解 (1) 曲线 C1 的直角坐标方程为 ( x-a) 2+ y2= 3,化简得 x2+ y2- 2ax+ a2- 3=0. 又 x2+y2=ρ 2, x=ρ cos θ, 1 因此 ρ 2- 2aρ cos θ + a2-3= 0. π 2 代入点 1, ,得 a - a- 2= 0, 解得 a= 2 或 a=- 1( 舍去 ) . 因此曲线 C1 的极坐标方程为 ρ 2- 4ρ cos θ +1= 0. 由题意知,设直线 l 的极坐标方程为 θ = α ( ρ ∈ R) , 设点 M( ρ 1, α ) , N( ρ 2, α ) , P( ρ 3,α ) , 则 ρ 1ρ 3ρ 2. ρ 2- 4ρcos θ + 1= 0, 联立 得 ρ 2-4ρ cos α + 1= 0, θ = α, 1 2 = 4cos 1 2 因此 ρ + ρ α , ρ ρ = 1. ρ = cos θ , 得 ρ3= cos α . 联立 θ = α, 因为 | MP|, | OP| , | PN| 成等比数列, 2 ρ 2- ρ 3) ,即 2 因此 ρ 3= ( ρ 3- ρ 1)( 2ρ3=( ρ 1+ ρ 2) ρ 3-ρ 1ρ 2. 因此 2cos 2 2 2 (舍负 ). α = 4cos α - 1,解得 cos α = 2 经查验,知足 O, M, P,N四点挨次在同一条直线上, 因此 l 的极坐标方程为 π θ =± 4 ( ρ ∈ R) . 思想升华 (1) 在由点的直角坐标化为极坐标时, 必定要注意点所在的象限和极角的范围, 否 则点的极坐标将不独一. 在与曲线的直角坐标方程进行互化时,必定要注意变量的范围,要注意转变的等价性. 2 1 追踪操练 1 x= 1+ 2t , (2018 ·乌鲁木齐模拟 ) 已知直线 l 的参数方程为 ( t 为参数 ) , y= 3+ 3t 以坐标原点 O为极点,以 x 轴正半轴为极轴,成立极坐标系,曲线 C的极坐标方程为 sin θ 3ρ cos 2θ =0. 求曲线 C的直角坐标方程; 写出直线 l 与曲线 C交点的一个极坐标. 解 (1) ∵sin θ - 3ρ cos 2θ =0, ∴ ρ sin θ - 3ρ 2cos 2θ =0, 即 y- 3x2= 0. 即曲线 C的直角坐标方程为 y= 3x2. (2) 将 x =1+1 , 3x2= 0, 2t 代入 y- y= 3+ 3t 1 2 得 3+ 3t - 3 1+2t = 0,即 t = 0, 进而交点坐标为 (1 , 3) , 因此交点的一个极坐标为 2, π 3 . 热门二 参数方程与一般方程的互化 1.直线的参数方程 过定点 M( x x= x0+ t cos α , , y ) ,倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 ( t 为参数 ) . 0

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