有理函数积分.ppt

第四节 一、 有理函数的积分 例1. 将下列真分式分解为部分分式 : (2) 用赋值法 (3) 比较系数法 2. 有理函数的积分 例3. 求 例4. 求 例5. 求 例6. 求 例7. 求 按常规方法解: 二 、可化为有理函数的积分举例 例8. 求 例9. 求 2. 简单无理函数的积分 例13. 求 例14. 求 例15. 求 内容小结 思考与练习 解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的 最小公倍数 6 , 则有 原式 令 解: 令 则 原式 * 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法 初等函数 求导 初等函数 积分 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 有理函数的积分 本节内容: 第四章 有理函数: 时, 为假分式; 时, 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分 式 分解 其中部分分式的形式为 若干部分分式之和 1. 有理函数的分解 （1）分母中若有因式 ，则分解后为 有理函数化为部分分式之和的一般规律： 特殊地： 分解后为 其中 都是常数 注: 关于部分分式分解 如对 进行分解时 例如 一项也不能少，因为通分后分子上是 的 次 多项式，可得到 个方程，定出 个系数，否则 将可能会得到矛盾的结果. 但若 矛盾 （2）分母中若有因式 ，其中 则分解后为 特殊地： 分解后为 其中 都是常数 解: (1) 用拼凑法 故 原式 = 变分子为 再分项积分 四种典型部分分式的积分: 讨论积分 令 则 记 这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 结论 有理函数的原函数都是初等函数. 递推公式 注意 以上介绍的虽是有理函数积分的普遍方法，但对 一个具体问题而言，未必是最简捷的方法，应首先考虑用其它的简便方法. 如 使用凑微分法比较简单 基本思路 尽量使分母简单——降幂、拆项、同乘等 化部分分式，写成分项积分 可考虑引入变量代换 例2. 求积分 解： 解: 已知 解: 原式 思考: 如何求 提示: 变形方法同例4 解: 说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法. 解: 原式 解: 原式 注意本题技巧 按常规方法较繁 第一步 令 比较系数定 a , b , c , d . 得 第二步 化为部分分式 . 即令 比较系数定 A , B , C , D . 第三步 分项积分 . 此解法较繁 ! 设 表示三角函数有理式 , 令 万能代换 t 的有理函数的积分 1. 三角函数有理式的积分 则 令 （万能置换公式） 解: 令 则 解: 说明: 通常求含 的积分时, 往往更方便 . 的有理式 用代换 例10. 求积分 解法 1： 解法 2： 令 解法 3： 可以不用万能置换公式. 结论 比较以上三种解法, 便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换. 如 若用万能代换，则 化部分分式比较困难 但若是凑微分，则比较简单 基本思路 令 令 被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如: 令 解: 令 则 原式