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椭圆及其标准方程 ( 学案 )B
一、 知识梳理:
1. 椭圆的定义
定义的理解 : 当 2a=2c 时 , ; 当 2a2c 时 ,
2. 椭圆的标准方程 : 焦点在 x 轴上的标准方程 : + =1(ab0) .焦点在 y 轴上的标准方程 :
+ =1(ab0)
两种方程可用统一形式表示 :A + B =1 (A0,B0 且 A B) , 当 AB 时 , 焦点在 轴上 ,
当 AB 时 , 焦点在 轴上 ; 对椭圆的两种标准方程, 都有 a b 0 ,焦点都在长轴上,
且 a、b、c 始终满足 c2 a 2 b 2
3. 椭圆焦点所在的轴的判定方法 : 在标准方程中 , 只要看分母大小 , 如果 大于 的分母 , 则
椭圆的焦点在 x 轴上 , 反之 , 焦点在 y 上.
4. 椭圆的几何性质
对于椭圆 + =1(ab0)
(1) 范围 : 由标准方程 + =1(ab0) 可知 ,|x| a , |y| b, 说明椭圆位于直线 x= y=
所围成的矩形内 ;
(2) 对称性 : 椭圆 + =1(ab0) 关于直线 x 轴 ,y 轴 , 及原点对称 ;
(3) 顶点 : , 是椭圆与 x 轴的两个交点 , , 是椭圆与 y 轴的
两个交点 . 线段 、 分别叫椭圆的长轴与短轴,它们的长分别是 2a ,2b;a ,b
分别叫椭圆的半长轴长与半短轴长。
(4) 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比值 e= 叫椭圆的离心率,范围: (0 , 1),越接近于
0 越圆, 越拉近于 1 越扁, 常用 =1- ;椭圆上点到焦点和直线 x= 的距
离之比等于离心率,由此可以求出椭圆上的点到相应的焦点的距离(焦半径)
|p |=a+e |p |=a-e
(5) 椭圆的参数方程:椭圆 + =1(ab0) 的参数方程为: ( )为参数
(6) 二次曲线的弦长公式:
整理得到 x 的方程:
整理得到 y 的方程:
二、题型探究
探究一:椭圆的标准方程(求椭圆方程常用方法:待定系数法)
例 1: 求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)、两个焦点坐标分别为( -4 ,0 )、(4,0 ),椭圆上的点 P 到两个焦点的距离之和为 10;
(2 )、椭圆经过两点 A (-1.5,-2.5 ),B( )
(3 )、椭圆 + =1 的离心率为 .
探究二:椭圆的几何性质
例 2:已知 , 为椭圆 + =1(ab0) 的左、右焦点,过 作椭圆的弦 AB,若 的
周长为 16,|A | 、 | | 、 | A | 成等差数列,求椭圆的方程。
探究三:直线与椭圆
例 3:已知 , 分别为椭圆 + =1(ab0) 的左、右焦点,过 斜率为 1 的直线 a 与椭
圆交于 A,B 两点,且 |A | 、| | 、 | B | 成等差数列,
(1)、求椭圆的离心率;
(2 )、设点 P (0,-1 )满足 |PA|=|PB| ,求椭圆的方程。
三、方法提升
(1)、熟练掌握椭圆的标准方程,特别是 a ,b, c,e 四个数值的换算关系;
(2 )、掌握椭圆的定义、几何性质,通过运算得到的椭圆特殊结论要留下深刻印象;
(3 )、为简化运算,处理交点问题时,常采用“设而不求”的办法,一般是设出交点后,
再用韦达定理处理,这种方法在处理直线与圆锥曲线的位置关系中极为重要。
四、反思感悟
五、课时作业
一、选择题
2 2
1、与椭圆
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