东北师大附属中学高三一轮导学案：坐标系【B】.pdf

坐标系 ( 学案 )B 一、 知识梳理： ( 阅读教材 : 选修 4-4 第 1 页至 20 页 ) 1. 平面直角坐标系 (1) 平面直角坐标系的概念 : 在平面上 , 当取定两条互相垂直的直线交点为原点 , 并确定了度量单位和这两条直线的方向 , 就建立了平面直角坐标系 , 它使平面上任一点 P 都可以唯一的实数对 (x,y) 确定 . (2) 平面直角坐标系的伸缩变换 设点 p(x,y) 是平面直角坐标系中任意一点 , 在变换 的作用下 , 点 p(x,y) 对应到点 ( ), 称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 , 简称伸缩变换 . 2. 极坐标系 (1). 极坐标系的建立： 在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 OX，同时确定一个单位长度和计算角度的 正方向（通常取逆时针方向为正方向） ，这样就建立了一个极坐标系。 （其中 O称为极点，射线 OX称为极轴。 ） (2) 、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点 M，用 表示线段 OM的长度，用 表 示从 OX到 OM 的角度， 叫做点 M的极径， 叫做点 M的极角， 有序数对（ ， ）就叫做 M的极坐标。 特别强调：由极径的意义可知 ≥0; 当极角 的取值范围是 [0,2 ) 时 , 平面上的点 ( 除去极点 ) 就与极坐标（ ， ）建立一一对应的关系 . 我们约定 , 极点的极坐标是极径 =0, 极角是任意角 . (3) 、负极径的规定 在极坐标系中，极径 允许取负值，极角 也可以取任意的正角或负角 当 ＜0 时，点 M （ ， ）位于极角终边的反向延长线上，且 OM= 。 M( ， ) 也可以表示为 ( , 2k )或 ( , (2k 1) ) ( k z) (4). 直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单 位。平面内任意一点 P 的直角坐标与极坐标分别为 ( x , y) 和 ( , ) ，则由三角函数的定义可 以得到如下两组公式： 2 2 2 x y x cos { { y y sin tan x 说明 1. 上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式 2. 通常情况下， 将点的直角坐标化为极坐标时， 取 ≥0， 0 ≤ ≤ 2 。 3. 互化公式的三个前提条件 (1). 极点与直角坐标系的原点重合 ; (2). 极轴与直角坐标系的 x 轴的非负半轴重合 ; (3). 两种坐标系的单位长度相同 . (5). 简单曲线的极坐标系方程 一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 f ( , ) 0 方程的解为坐标 , 的点都在曲线上， 那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程， 这条曲线称为这个极坐标方 程的曲线。 (6). 常见的几种圆与直