东北师大附属中学高三一轮导学案：基本不等式及其应用【B】.pdf

基本不等式及应用 (学 )B 一、 知识梳理： 1、基本不等式 (1) 重要不等式 : 如果 a,b , 那么 + 2ab. 当且仅当 a=b 时, 等号成立 . (2) 基本不等式 : 如果 a,b0. 那么 可以表述为两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 . 2 、重要结论： （1）a+ 2 （a ） 1 （2 ）a+ 2 （a ） 1 （3 ）、 （4 ）、 + ab+bc+ca （5 ）、 （ a,b0. ） （6 ）、 + 3 、如果 a,b , 那么 ( 不等式证明选讲内 容 ) 4 、推广：对于 n 个正数 它们的算术平均数不小于它们的几何平均数 . 即 二、题型探究 探究一：利用基本不等式求最值： 例 1： （1）x,y ,x+y=S （和为定值），则当 x=y 时，积 xy 取得最大值 ； （2 ）x,y , xy=P （积为定值），则当 x=y 时，和 x+y 取得最小值 2 即：和定，积最大；积定，和最小。 应用基本不等式的条件： （1）、一正：各项为正数； （2 ）、二正： “和”或“积”为定值； （3 ）、三等：等号一定能取到，这三个条件缺一不可。 例 1：解答下列问题 （1） 已知 x ，求 x+ 的最小值； （2 ） 已知 0 ，求函数 f(x)=x(8-3x) 的最大值； （3 ） 求函数 y= （4 ） 已知 x ，且 x+y=1 ，求 + 。 探究二：基本不等式的实际应用 在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点： （1）、先理解意，设变量时一般把要求的最值的变量定为函数； （2 ）、建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； （3 ）、在定义域内，求出函数的最值； （4 ）、正确写了答案。 例 2： 某单位建造一间地面面积为 12 平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子 侧面的长度 x 不得超过 a 米，房屋正面的造价为 400 元/ 平方米 , 房屋侧面的造价为 150 元 / 平方米 , 屋顶和地面的造价费用合计 5800 元，如果墙高为 3 米，且不房屋背面的费用。 （1）、把房屋总选价 y 表示为 x 的函数，并写出该函数的定义域； （2 ）、当侧面的长度为多少时？房屋的总造价最低，最低造价是多少？ 三、方法提升 基本不等式（也称均值定理）具有将“和式” ，“积式”相互转化的功能，应用比较广泛， 为了用好该不等式，首先要正确理解该不等式中的三人条件（三要素）正（各项或各因式 为正值）、定（“和”或“积”为定值） 、等（各项或各因式都能取得相等的值，即具备等号 成立的条件） ，简称“一正，二定，三相等” ，这三个条件缺一不可，当然还要牢记结论： 和定，积最大；积定，和最小。但是在具体问题中，往往所给的条件并非“标准”的“一 正， 二定， 三相等”，（或隐藏在所给条件中） ，所以要对各项或各式作适应的变形， 通过凑， 拆，添项等技巧，对“原始”条件进行调整、转化，使其符合标准的正、定、等。如果等 号在变形的时候不成立，这时可以改用“对勾函数”来解决不能应用基本不等式求解的情 形。 四、反思感悟 五、课时作业 1 1 1．已知 a0，b0 ，则 ＋ ＋2 ab 的最小值是 ( ) a b A．2 B ．2 2 C