[理学]线性代数课件(2).pptVIP

2021/6/30 2021/6/30 (2)以常数 k≠0 乘单位阵第 i 行（列）， 记作 E5(3(k)) 记作 Em(i(k))． 2021/6/30 (3)以 k 乘单位阵第 j 行加到第 i 行, 记作 E5(35(k)) 记作 Em(ij(k))． 以 k 乘单位阵第 i 列加到第 j 列． ? 两种理解！ 2021/6/30 2021/6/30 2021/6/30 结论 把矩阵A的第 i 行与第 j 行对调，即 . 把矩阵A的第 i 列与第 j 列对调，即 . 以非零常数 k 乘矩阵A的第 i 行，即 . 以非零常数 k 乘矩阵A的第 i 列，即 . 把矩阵A第 j 行的 k 倍加到第 i 行，即 . 把矩阵A第 i 列的 k 倍加到第 j 列，即 . 2021/6/30 性质1 设A是一个 m×n 矩阵， 对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； 对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵. 口诀：左行右列. 2021/6/30 初等变换 初等变换的逆变换 初等矩阵 ? 2021/6/30 2021/6/30 因为“对于n 阶方阵A、B，如果AB = E，那么A、B都是 可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”， 所以 ． 一般地， ． 2021/6/30 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 2021/6/30 知识点回顾：克拉默法则 结论 1 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的.（P. 24定理4） 结论 1′如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零. （P.24定理4） 设 用克拉默法则解线性方程组的两个条件： (1) 方程个数等于未知量个数； (2) 系数行列式不等于零. 线性方程组的解受哪些因素的影响？ 2021/6/30 §1 矩阵的初等变换 一、初等变换的概念 二、矩阵之间的等价关系 三、初等变换与矩阵乘法的关系 四、初等变换的应用 2021/6/30 引例：求解线性方程组 ① ② ③ ④ 一、矩阵的初等变换 2021/6/30 ① ② ③ ④ ① ② ③÷2 ① ② ③ ④ 2021/6/30 ②－③ ③－2×① ④－3×① ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ 2021/6/30 ② ÷2 ③＋5×② ④－3×② ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ 2021/6/30 ④－2×③ ③ ④ ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ 2021/6/30 取 x3 为自由变量，则 令 x3 = c ，则 恒等式 ① ② ③ ④ 2021/6/30 三种变换： 交换方程的次序，记作 ； 以非零常数 k 乘某个方程，记作 ； 一个方程加上另一个方程的 k 倍，记作 . 其逆变换是： 结论： 由于对原线性方程组施行的变换是可逆变换，因此变换前后的方程组同解. 在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算． i j i ×k i ＋k j i j i ×k i ×k j i j i ÷k i －k j 2021/6/30 定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换： 对调两行，记作 ； 以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作 ； 某一行加上另一行的 k 倍，记作 . 其逆变换是： 把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义． 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换． 初等变换 初等行变换 初等列变换 2021/6/30 增广矩阵 结论： 对原线性方程组施行的变换可以转化为对增广矩阵的变换. 2021/6/30 ① ② ③÷2 ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ 2021/6/30 ②－③ ③－2×① ④－3×① ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ 2021/6/30 ② ÷2 ③＋5×② ④－3×② ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ 2021/6/30 ④－2×③ ③ ④ ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ 2021/6/30 ① ② ③ ④ 2021/6/30 B5 对