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* 2021/6/30 幂 指 对 三角 反三角 组合 多项式函数 数值计算比较简单 查表 数据如何得到? 若函数 在 点可微,则: 误差 : 问题:能否用多项式来近似表达其它函数? y 2.5 2 1.5 1 0.5 -1 -0.5 0 0.5 1 x y 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 两点不足: (2)误差不定量。 (1) 精确度不高。 ①“以直代曲” ② 解决方案: “以曲代曲”; 显然: 即: 假设: ) ( ), ) (( ) ( ) ( 0 0 x x x x o x p x f n n ? - = - 要求: 得到 容易求得 的各项系数为: n阶泰勒多项式 定理1 如果函数f(x)在含有x0的开区间(a,b) 内具有直到(n+1)阶的导数,则对于x?(a,b) 其中 介于 与 之间。 ----n阶泰勒公式 证明:把泰勒公式改写为: 作辅助函数: 显然: 则由罗尔中值定理,存在 介于 与 之间,使得: 其中 介于 与 之间。 当 在 有界时,即 佩亚诺型余项 拉格朗日型余项 定理2 如果函数f(x)在含有x0的开区间(a,b)内具有直到n阶导数,且f(n)(x)在(a,b) 内连续,则 f(x) 在(a,b)内有n阶带有佩亚诺型余项的泰勒公式: 麦克劳林( Maclaurin,C. 1698-1746, 苏格兰 ) 取 此时 介于 与 之间。 令 泰勒公式又称为麦克 劳林公式 带佩亚诺型余项的麦克劳林公式: 带拉格朗日型余项的麦克劳林公式: 例:求函数 带拉格朗日型余项 的n阶麦克劳林公式。 解: 近似计算 令 如果取 ,则得近似公式: 通常取 如果取 如果取 当 当 * * * * * * * * * * * *
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