《理学线性空间》PPT课件.pptVIP

2021/6/30 2021/6/30 引理 n维线性空间V 的任意n个线性无关的向量x1 ,x2 , …,x n都可构成线性空间V 的一组基。 证明 设x1 ,x2 , …,x n 是n维线性空间V 的任意一组线性无关的向量，x是V的任一向量，只要证明： 设存在一组不全为0的数k , l 1 , l 2 , …, l n使 由于x1 ,x2 , …,x n 是线性无关的，故 所以X可由x1 ,x2 , …,x n是线性表示。 X可由x1 ,x2 , …,x n是线性表示即可 进而 因此x1 ,x2 , …,x n可构成V 的一组基 2021/6/30 推论1 在n维线性空间中，任意m(mn)个 向量必是线性相关的 推论2 在n维线性空间中，任意两组基 中所含的向量的数目相同。 下面，讨论当线性空间的基改变时，向量的坐标如何变化，为此，首先介绍过渡矩阵的概念。 2021/6/30 二、基变换与过渡矩阵 x1 ,x2 , …,x n与y1 ,y2 , …, y n是n维线性空间V的两组不同基。则由基的定义，有 称P是由基x1 ,x2 , …,x n到基y1 ,y2 , …, y n的过渡矩阵。 记作： 其中 2021/6/30 过渡矩阵结论 (1) 过渡矩阵P是可逆矩阵； 同一向量在不同基下的坐标是不同的。设 得坐标变换公式 (2) 设P是由基x1 ,x2 , …,x n到基y1 ,y2 , …, y n的过渡矩阵，则P-1是由基y1 ,y2 , …, y n到基x1 ,x2 , …,x n的过渡矩阵。 由于基向量线性无关，则 2021/6/30 例5、求向量 在基x1 ,x2 , x 3下的坐标 解法1： 由向量坐标的定义，可设： 得方程组 解方程组即可 2021/6/30 由自然基到基x1 ,x2 , x 3的过渡矩阵为 解法2： 求得 利用坐标变换公式，则基x1 ,x2 , x 3的坐标为 自学P8例1.2.6；练习P23：4 2021/6/30 第三节 线性子空间 主要内容： 一、子空间与生成子空间 二、子空间的运算 三、子空间的直和 2021/6/30 1、定义：设V是一个线性空间，S是V的一个子集，如果S关于V的加法及数乘也构成一个线性空间，则称S是V的一个子空间。仍记为 定理 : 线性空间V的一个子集S是V的一个子空间当且仅当S关于V的加法及数乘是封闭的，即 说明：每个非零线性空间至少有两个子空间，一个是它自身，另一个是仅由零向量所构成的子集合，称为零子空间。 一、子空间与生成子空间 2021/6/30 设x1 ,x2 , …,x k 是线性空间V的任意一组向量，则称所有x1 ,x2 , …,x k线性表示的集合构成的子空间（可以验证其为V的子空间）为生成子空间，记 例 在三维向量空间R3中，e1 ,e2 , e 3是自然基。则 e1 ,e2的生成子空间是x1 -x2 平面； e2 ,e3的生成子空间是x2 –x3 平面； e1 ,e3的生成子空间是x1 –x3 平面； 2、生成子空间 2021/6/30 例1、n元齐次方程组 的解的集合构成线性空间， 称为解空间，记为 若设 则 即 称 为A的核空间，A的核空间的维数称为A的零度。 例2、矩阵A的列空间： 矩阵A的列空间又称为A的值域，记为 设矩阵 则 有 2021/6/30 生成子空间的维数 x1 ,x2 , …,x k 的任一极大无关组构成生成子空间L(x1 ,x2 , …,x k ) 的基。 基的扩充定理 n维线性空间V 的任意一组线性无关的向量x1 ,x2 , …,x r 都可扩充为线性空间V 的一组基。（可用归纳法证明） 记dim L (x1 ,x2 , …,x k )= r r为向量组x1 ,x2 , …,x k的秩. 从而有： 2021/6/30 二、子空间的运算 设S1 ,S2 是线性空间V 的两个子空间，定义子 空间的交空间与和空间（仍为V的子空间）： 例如，在线性空间R3中， v1 表示过原点的直线L1 上所有向量形成的子空间，v2 表示另一条过原点的直线L2 上所有向量形成的子空间，则 是由原点（ L1 与L2的交点）构成的零子空间； 是由 L1 与L2所决定的平面上全体向量构成的子空间。 2021/6/30 子空间的维数公式 要证明 设S1 ,S2 是线性空间V 的两个子空间，则 证明 记 将它分别扩充为S1 ,S2的基x1 ,x2 , …,x t , y1 ,y2 , …, y r-t 与x1 ,x2 , …,x t , z1 ,z2