高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳(1).docx

2 2 平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1. 向量 ：既有大小又有方向的量。记作： AB 或 a 。 2. 向量的模 ：向量的大小（或长度） ，记作： | AB |或 | a | 。 3. 单位向量 ：长度为 1 的向量。若 e是单位向量，则 | e| 1。 4. 零向量 ：长度为 0 的向量。记作： 0 。【 0 方向是任意的，且与任意向量平行】 5. 平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的向量。 6. 相等向量 ：长度和方向都相同的向量。 7. 相反向量 ：长度相等，方向相反的向量。 AB BA 。 8. 三角形法则： AB BC AC； AB BC CD DE AE； AB AC CB （指向被减数） 9. 平行四边形法则 ： 以 a , b为临边的平行四边形的两条对角线分别为 a b， a b 。 10. 共线定理 ： a b a / /b 。当 0 时， a与b 同向；当 11. 基底 ：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12. 向量的模： 若 a (x , y) ，则 | a | x2 y 2 ， a | a |2 ， |a 0 时， a与b 反向。 b | ( a b)2 13. 数量积与夹角公式： a b | a | | b |cos ； cos 14. 平行与垂直： a / / b a b x1 y2 x2 y1； a 题型 1. 基本概念判断正误 ： （ 1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形 （5）若 AB CD ，则 A、 B、 C、 D四点构成平行四边形。 （6）若 a 与 b 共线， b 与 c共线，则 a 与 c共线。 a b | a | | b | b a b 0 x1x2 y1 y2 0 ABCD是平行四边形的条件是 AB CD 。 （ 7）若 ma mb ，则 a b 。 3b2 3 b 2 （8）若 ma na ，则 m n 。 （9）若 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都不是零向量。 （ 10）若 a b | a | |b | ，则 a / /b 。（11）若 | a b | | a b | ，则 a b 。 题型 2. 向量的加减运算 1. 设 a 表示“向东走 8km” , b表示“向北走 6km” , 则 |a b | 2. 化简 (AB MB) (BO BC ) OM 。 3. 已知 | OA | 5 , |OB | 3 , 则 |AB | 的最大值和最小值分别为 4. 已知 AC为AB与 AD 的和向量，且 AC a , BD b ，则 AB 5. 已知点 C 在线段 AB 上，且 AC AB , 则 AC BC， AB 5 题型 3. 向量的数乘运算 1. 计算： 2(2a 5b 3c) 3( 2a 3b 2c) 。 、 。 ， AD 。 BC 。 2. 已知 a (1, 4), b ( 3,8) ，则 3a 1 。 题型 4. 根据图形由已知向量求未知向量 1. 已知在 ABC 中， D 是 BC 的中点，请用向量 AB，AC 表示 AD 。 2. 在平行四边形 ABCD 中，已知 AC a, BD b ，求 AB和 AD 。 题型 5. 向量的坐标运算 1. 已知 AB (4,5) ， A(2,3) ，则点 B 的坐标是 。 2. 已知 PQ ( 3, 5)， P(3,7) ，则点 Q 的坐标是