浙工大 2021-2022近世代数 期末A.pdf

浙江工业大学 2021/2022 学年 第一学期试卷 课程：近世代数 班级： 姓名： 学号： 一、 填空题 (每空 3 分，共30 分) 1. 全体整数Z 按照普通加法可以做成一个群，该群的单位元是 . 2. 对称群 Sn 的阶是 . 3. 8 阶循环群的生成元有 个，其全部子群有 个. 4. 设F 是一个含有9 个元素的域，则F 的特征是 . 2 ¯ 5. 二次多项式x + x + 1 在模 7 剩余类环Z7 中的根为 . 6. 在群 G 中，如果元素a 的阶为2021，那么a2022 的阶是 . 7. 群K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} 为对称群 S4 的子群，则K4 在 S4 中的指数是 . 8. 列出模6 剩余类环Z6 中的零因子： . 9. 把对称群 S7 中的置换σ = (456)(567)(761) 写成不相连轮换的乘积： . 二、 计算题 (共 30 分) 1. (10 分) 在整数集合Z 中，规定运算 a ◦ b = a + b − 2, a, b ∈ Z, 验证：Z 在此运算下构成一个群. 2. (10 分) 设S3 为三元对称群，请列出S3 的所有真子群，并指出其中哪些是正规子群，同时利用Lagrange 定理说明理由. (写出真子群的具体元素) 3. (10 分) 令 S 为实数集合R 上一切形如 a b ) a, b ∈ R 0 0 的方阵做成的集合. (1) 验证：按照普通的矩阵加法和矩阵乘法 S 可以做成环. (2) 问S 是否为交换环，S 是否含有单位元? (给出具体理由) 三、 (10 分) 证明： (1) 在一个有限群里，阶大于 2 的元素的个数一定是偶数； (2) 偶数阶群中阶等于 2 的元素的个数一定是奇数. 四、 (10 分) 证明： (1) 对于模n 剩余类环Zn 中的非零元m¯ ，如果m 和n 互素，那么m¯ 是Zn 中的可逆元. 1 (2) 设n 是正整数，记φ(n) 为小于n 的正整数中与n 互素的数的个数，如果a 和n 互素，那么有 aφ(n) ≡ 1(mod n). 五、 (10 分) 证明： (1) 设I1 和I2 是环R 的两个理想，那么它们的交集I1 ∩ I2 也是环R 的理想； (2) 设m, n 为正整数，那么对整数环Z 的两个理想mZ 和nZ 有 mZ ∩ nZ = [m, n]Z, 其中 [m, n] 代表m 和n 的最小公倍数. 六、 (5 分) 令 R 为全体实数的集合，记 R × = R\{0}，那么按照普通实数的乘法R × 可以看成一个群. 令 C = {a + bi|a, b ∈ R} 为全体复数的集合 (其中i 为虚单位)，记C× = C\{0}. 那么按照通常复数的乘法C× 可以看成一个群. 定义映射φ : C× → R × 如下： φ(z) = |z |, z = a + bi