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第 8 章 质点运动微分方程
本章内容
1 动力学引言
2 动力学的基本定律
3 质点的运动微分方程
4 质点动力学的两类问题
第一节 动力学引言
动力学则对物体的机械运动进行全面的分析,它研究作用于物体上的力和物体运动之间的关系,建立物体机械运动的普遍规律。
第二节 动力学的基本定律
不受力作用的质点,不是处于静止状态,就是保持其原有的速度(包括大小和方向)不变,这种性质称为惯性。第一定律阐述了物体做惯性运动的条件,故又称为惯性定律。
第二定律(力与加速度之间的关系定律) 质点的质量与加速度的乘积,等于作用于质点的力的大小,加速度的方向与力的方向相同,即
式(8-1)是第二定律的数学表达式,它是质点动力学的基本方程,建立了质点的加速度、质量与作用力之间的定量关系。该式表明:
(1)质点的加速度矢 与力矢 的方向相同,如图8-1所示。式(8-1)是矢量形式。其中,力应理解为作用于质点的合力,即
(2)力与加速度的关系是瞬时的关系,即只要某瞬时有力作用于质点,则该瞬时质点必有确定的加速度。
(3)如在某一段时间内,没有力作用于质点,则在这段时间内质点没有加速度,质点速度的大小和方向保持不变,质点在这段时间内做惯性运动,这与第一定律是相符合的。
(4)对质量相等的质点,作用于质点的力大,则其加速度也大;如用大小相等的力作用在质量不同的质点上,则质量大的质点加速度小,质量小的质点加速度大。这说明质点的质量越大,保持原来运动状态的能力越强,即质点的质量越大,质点的惯性也越大。因此,质量是质点惯性的度量。
由上可知,物体机械运动状态的改变,不仅决定于作用于物体的力,同时也与物体的惯性有关。
式中:P——物体所受的重力;
g——物体所受的重力加速度。
在工程中常用工程单位制。在工程单位制中,长度、力和时间的单位是基本单位,分别取为m,kgf和s,并把1 kg质量所受重力作为力的单位,即
第三定律(作用力与反作用力定律) 两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。
第三节 质点的运动微分方程
代入式(8-1),得
将式(8-4)在直角坐标系Oxyz各轴上投影,得
由动运学有
式中,x,y,z是质点M在直角坐标系Oxyz中的坐标。
将式(8-6)代入式(8-5),得
式(8-7)就是直角坐标形式的质点运动微分方程。
由运动学有
将式(8-9)代入式(8-8),得
式(8-10)就是自然形式的质点运动微分方程。
第四节 质点动力学的两类问题
质点动力学的问题总的来讲可分成两类:第一类问题是已知质点的运动,求作用于质点上的力;第二类问题是已知作用于质点上的力,求质点的运动。
一、质点动力学第一类问题的典型例题
例8-1
解
(1)选取研究对象。选取质点M为研究对象。
(3)选定坐标系。质点M做铅垂直线运动,选轨迹直线为直角坐标轴Ox,并规定向下为正。
(4)建立运动微分方程。质点M直角坐标形式的运动微分方程为
如图8-3所示,有
于是运动微分方程可写为
根据质点M的运动方程,有
于是有
例8-2
(1)导板对物块的最大约束力及此时偏心C的位置。
解
(1)选物块M为研究对象,选坐标轴如图8-4(a)所示。
(3)分析运动。由图8-4(a)可知,M点的运动方程为
点的加速度应为
(4)列质点运动微分方程,求解。由式(8-7)得到
所以
使物块M不离开导板的角速度最大值为
例8-3
解
(1)选质点M为研究对象。
(3)分析运动,列质点运动微分方程,求解。
质点M的运动微分为
代入运动微分方程,得
于是有
例8-4
解
(1)选帆船为研究对象。
(2)受力分析,画受力图。船在铅垂方向的重力和浮力相平衡,故只需画出水平方向的阻力F。
(3)选固定坐标轴Ox,并建立运动微分方程。设船重为G,则船的运动微分方程为
代入运动微分方程,得
分离变量后写为
积分后得
解得
代入运动微分方程,有
积分后得
例8-5
解
(1)选小球M为研究对象,建立直角坐标系Oxy,如图8-7所示。
(2)分析力,画受力图。
小球M的作用力F
(3)分析运动。在弹性线恢复力F的作用下,小球M将做曲线运动,其运动规律及运动轨迹将由小球M的运动微分方程来确定。
(4)列运动微分方程,求解。设小球M在Oxy平面内的坐标为 ,则由式(8-5)可得小球的运动微分方程为
将式(a)代入式(b),得
或
式(c)的两个方程均为二阶常系数齐次线性微分方程,其通解为
将式(d)对时间求导数,得
将初始条件式(e)代入式(f),可得
联立求解式(g)~式(j),可得
再将积分常数代入式(d),可得小球M的运动方程为
最后由式(k)、式(l)求得小球的轨迹方程为
例8-6
解
(1)选质点M为研究对
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