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试卷第 =page 1 1页,共 =sectionpages 3 3页
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圆锥曲线最热解答题100题(难度:一般)
未命名
一、解答题
1.设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,.
(1)求的方程;
(2)求过点,且与的准线相切的圆的方程.
【答案】(1) y=x–1,(2)或.
【详解】
分析:(1)根据抛物线定义得,再联立直线方程与抛物线方程,利用韦达定理代入求出斜率,即得直线的方程;(2)先求AB中垂线方程,即得圆心坐标关系,再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系,解方程组可得圆心坐标以及半径,最后写出圆的标准方程.
详解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x–1)(k0).
设A(x1,y1),B(x2,y2).
由得.
,故.
所以.
由题设知,解得k=–1(舍去),k=1.
因此l的方程为y=x–1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为
,即.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则
解得或
因此所求圆的方程为
或.
点睛:确定圆的方程方法
(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心和半径有关,则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组,从而求出的值;
②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D、E、F的方程组,进而求出D、E、F的值.
2.已知一动圆与圆:外切,且与圆:内切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程;
(2)过点能否作一条直线与交于,两点,且点是线段的中点,若存在,求出直线方程;若不存在,说明理由.
【答案】(1) (2) 存在,
【分析】
(1)利用圆与圆外切时,圆心距等于半径之和,圆与圆内切时,圆心距等于半径之差的绝对值,从而得到方程组,再利用双曲线定义得到圆心的轨迹为双曲线的右支;
(2)利用设而不求、点差法、中点坐标公式,求得直线的斜率.
【详解】
(1)设动圆圆心,半径为,
根据题意得:,所以,
则动点轨迹为双曲线(右支),所以,,,
所以轨迹方程为.
(2)设,代入双曲线的方程得
两式相减得,
因为是线段的中点,所以
所以,所以的方程为.
【点睛】
本题考查双曲线的定义,点差法的应用,注意求出的双曲线方程要进行验证,只是双曲线的右支,考查逻辑推理能力和运算求解能力.
3.已知椭圆:过点,且椭圆的离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)斜率为的直线交椭圆于,两点,且.若直线上存在点P,使得是以为顶角的等腰直角三角形,求直线的方程.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) y=x-1
【分析】
(Ⅰ)由椭圆C:1(a>b>0)过点A(0,1),且椭圆的离心率为,列方程组求出a,b,由此能求出椭圆C的方程.
(Ⅱ)设直线l的方程为y=x+m,P(3,yP),由,得4x2+6mx+3m2﹣3=0,利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式,结合已知条件能求出直线l的方程.
【详解】
(Ⅰ)由题意得
解得.
所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)设直线l的方程为y=x+m,
由得.
令,得.
,.
因为是以为顶角的等腰直角三角形,
所以平行于轴.
过做的垂线,则垂足为线段的中点.
设点的坐标为,则.
由方程组解得,即.
而,
所以直线的方程为y=x-1.
【点睛】
本题考查椭圆方程、直线方程的求法,考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、中点坐标公式等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,是中档题.
4.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若,求|AB|.
【答案】(1);(2).
【分析】
(1)设直线:,,;根据抛物线焦半径公式可得;联立直线方程与抛物线方程,利用韦达定理可构造关于的方程,解方程求得结果;(2)设直线:;联立直线方程与抛物线方程,得到韦达定理的形式;利用可得,结合韦达定理可求得;根据弦长公式可求得结果.
【详解】
(1)设直线方程为:,,
由抛物线焦半径公式可知:
联立得:
则
,解得:
直线的方程为:,即:
(2)设,则可设直线方程为:
联立得:
则
,
,
则
【点睛】
本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题,涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立,通过韦达定理构造等量关系.
5.已知点A(0,-2),椭圆E: (ab0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相
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