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瓜豆原理——主从动点问题
初中数学有一类动态问题叫做主从联动,有的老师叫他瓜豆原理,也有的老师叫他旋转相似这类问题在解答的时候需要有轨迹思想,就是先要明确主动点的轨迹,然后要搞清楚主动点和从动点的关系,进而确定从动点的轨迹来解决问题.
瓜豆原理:一个主动点,一个从动点(根据某种约束条件,跟着主动点动),当主动点运动时,从动点的轨迹相同.(古人云:种瓜得瓜,种豆得豆.“种”圆得圆,“种”线得线,谓之“瓜豆原理”.)
满足条件:
1.两动一定;
2.动点与定点的连线夹角是定角;
3.动点到定点的距离比值是定值.
结论:若点O为定点,∠POQ为定角α,为定值k,则点Q与点P的运动路径相同.
方法:第一步:找主动点的轨迹 ;
第二步:找从动点与主动点的关系;
第三步:找主动点的起点和终点;
第四步:通过相似确定从动点的轨迹,
第五步:根据轨迹确定点线、点圆最值.
“瓜豆原理”其实质就构造旋转、相似.
涉及知识和方法:
知识:①相似;②三角形的两边之和大于第三边;③点到直线之间的距离垂线段最短;④点到圆上点共线有最值.
位似型(主从一线)
①点O为定点,点P在定直线l上运动,点Q为线段OP的中点,点Q的运动轨迹
②点A为定点,点P在定圆⊙O上运动,点Q为线段AP的中点,点Q的运动轨迹
旋转型(OQ在OP绕点Q顺时针旋转α的方向)
③点O为定点,∠POQ=α且,点P在定直线l(定圆⊙M)上运动,则点Q的运动轨迹
模型一:位似型
例1:
1. 如图,,,点为平面内一动点,且,点为线段中点,则线段的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】连接,取的中点,连接,先根据三角形中位线定理可得,再根据勾股定理、直角三角形的性质可得,然后分三种情况,根据三角形的三边关系、线段的和差即可得.
【详解】解:如图1,连接,取的中点,连接,
点为线段中点,
是的中位线,
,
,,
,
又点为的中点,
,
(1)如图1,当点不共线时,
由三角形的三边关系得:,
即;
(2)如图2,当点共线,且点位于点中间时,
则;
(3)如图3,当点共线,且点位于点中间时,
则;
综上,线段的取值范围为,
故答案为:.
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线、勾股定理等知识点,通过作辅助线,利用到三角形中位线定理是解题关键.
变式1-1:
2. 如图,在平面直角坐标系中,,,半径为2,P为上任意一点,E是PC的中点,则OE的最小值是
A. 1
B.
C. 2
D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图,连接AC,取AC的中点H,连接EH,OH利用三角形的中位线定理可得EH=1,推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆.
【详解】解:如图,连接AC,取AC的中点H,连接EH,OH.
,,
,
点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆,
,,
,
,
的最小值,
故选B.
【点睛】本题考查点与圆的位置关系,坐标与图形的性质,三角形的中位线定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,正确寻找点E的运动轨迹,属于中考选择题中的压轴题.
变式1-2:
3. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,D是以点A为圆心,4为半径的圆上一点,连接BD,M为BD的中点,则线段CM长度的最大值( )
A. 14 B. 7 C. 9 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】作AB的中点E,连接EM、CE、AD,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长,然后在中根据三边关系即可求解.
【详解】解:作AB的中点E,连接EM、CE、AD,
在直角中,
∵E是直角斜边AB上的中点,
∴,
∵M是BD的中点,E是AB的中点,
∴,
∴在中,,即,
∴最大值为7,
故选:B.
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识,熟练掌握综合运用各个知识点是解题关键.
变式1-3:
4. 如图,正方形ABCD的边长为4cm,点E、F分别从点D和点C出发,沿着射线DA、射线CD运动,且DE=CF,直线AF、直线BE交于H点.
(1)当点E从点D向点A运动的过程中:
①求证:AF⊥BE;
②在图中画出点H运动路径并求出点H运动的路径长;
(2)在整个运动过程中:
①线段DH长度的最小值为______.
②线段DH长度的最大值为_________ .
【答案】(1)①见解析;②3π;(2)①.②.
【解析】
【分析】(1)①证明△ABE≌△DAF,运用互余原理证明即可;
②根据∠AHB=90°,且AB是定长,判定点H在以AB为直径的圆上,且H可以与M,B重合即运动路径是一段优弧,根据弧长公式计算即可;
(2)①根据圆的性质,当
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