中考数学二次函数《胡不归问题》简答题题型汇总【解析版】.pdf

专题10 胡不归问题 2 【例 1】已知抛物线y＝ax +bx+c(a≠0)过点 A (1,0),B (3,0)两点,与 y 轴交于点 C,OC＝3 (1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标; (2)点 P 为抛物线在直线 BC 下方图形上的一动点,当△PBC 面积最大时,求点 P 的坐标; 1 + (3)若点 Q 为线段 OC 上的一动点,问:AQ 2QC 是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若 不存在,请说明理由． 2 【解答】解:(1)函数的表达式为:y＝a (x ﹣1)(x ﹣3)＝a (x ﹣4x+3), 即:3a＝3,解得:a＝1, 2 故抛物线的表达式为:y＝x ﹣4x+3, 则顶点 D (2,﹣1)． (2)将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式:y＝mx+n 并解得: 直线 BC 的表达式为:y＝ ﹣x+3, 过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H, 2 设点 P (x,x ﹣4x+3),则点 H (x,﹣x+3), 1 3 3 = = = 2 2 2 2 2 则 S△PBC •PH×OB (﹣x+3﹣x +4x ﹣3) (﹣x +3x), 3 3 - ＜ = ∵ 2 0,故 S△PBC 有最大值,此时 x 2, 3 3 , - 故点 P (2 4)． (3)存在,理由: 如上图,过点 C 作与 y 轴夹角为 30°的直线CG,作 QH⊥GH,垂足为 G, 1 第 1 页 共 19 页 1 = 则 GQ 2CQ, 1 + AQ 2QC 最小值＝AQ+GQ＝AG, 直线 GC 所在表达式中的 k 值为 3,直线 GC 的表达式为:y = 3x+3…①, 3 - 则直线 AG 所在表达式中的 k 值为 3 , 3 3 3 =- =- = 则直线 AG 的表达式为:y 3 x+s,将点 A 的坐标代入y 3 x+s 并解得:s 3 , 3 3 =- + ⋯ 则直线 AG 的表达式为:y 3 x 3 ②, 1 - 3 3 =