【教案】平面向量的概念及运算.docVIP

- 1 - - 平面向量的概念及运算 一、【课标要求】 1．平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； 2． 向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；③了解向量的线性运算性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义；②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 3．平面向量的数量积①通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 4．向量的应用：经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。 二．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。 向量的表示：ⅰ.几何表示：向量可以用一条有向线段来表示；ⅱ.字母表示：向量也可用小写英文字母带箭头……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如；ⅲ.坐标表示法。 向量的大小即向量的模：有向线段 的长度(记作||)即向量的大小， 记作｜|=|| 。两个向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 ②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行。零向量＝｜｜＝0。由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量。向量为单位向量｜｜＝1。 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作∥。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取。必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为。大小相等，方向相同，。 2．向量的运算 （1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法. ①两个向量的和：已知非零向量、，作，则+==叫做向量、的和。规定： ； ②非共线向量加法满足“三角形法则”与“平行四边形法则”（ⅰ）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ，但这时必须“首尾相连”。 ③向量加法满足交换律与结合律。 （2）向量的减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法 ①相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量.记作,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=。 ②两个向量的差：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：. ③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量，作（、有共同起点）。 ④向量加法与减法的性质：（非共线向量满足三角形三边不等关系定理 ；“=”取得是共线时才有可能） （3）实数与向量的积 ①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的。 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律. ⅰ.；ⅱ.; ⅲ.. （4）向量的数量积 ①两个非零向量的夹角：已知非零向量与，作＝，＝，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角。说明：（1）当θ＝０时，与同向；（2）当θ＝π时，与反向；（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0?≤?≤180?。 ②数量积的概念：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）。规定。 ③向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。 ④数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积. ⑤向