大一上数学第五章.pptx

第五章 微分方程 第一节 一些物理规律的数学描述－微分方程 第二节 求解微分方程的积分法 第三节 微分方程在生物医学中的应用实例 2022年2月2日星期三 2 第一节 一些物理规律的数学描述－微分方程 一、引例 二、微分方程的基本概念 三、物理实例 3 一、引例 例1. 一曲线过点(1, 2)，且曲线上任意点M(x,y)处线的斜率为2x，求曲线方程. 解. 设所求曲线方程为根据导数的几何意 义，由题设可得 对方程两端积分，得 其中C为任意常数.因为曲线过点(1,2)，所以曲线方程应当满足条件 得C=1.于是所求曲线方程为 4 例2. 一质点在重力作用下自由下落(不计空气阻力)，求质点在任意时刻t所在的位置. 解. 把质点初始位置取为坐标原点，并沿质点运动方向取为轴正方向(如图5-1).设质点在时刻所在t位置为，则质点的加速度为 O X 地 面 图5-1 物体自由下落 还应满足条件 将上式两端对t积分，得 5 再积分，即得 由前面条件可定出 因此，所求质点在时刻t的位置为 6 常微分方程 偏微分方程 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 (本章内容) ( n 阶显式微分方程) 二、微分方程的基本概念 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 的阶. 分类 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 7 — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 n 阶方程的初始条件(或初值条件): 的阶数相同. 特解 通解: 特解: 微分方程的解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 8 三、物理实例 例3. 质点的弹性振动 介质中质量为m的质点，假定处在弹性约束之下作一维振动(即仅需一个位置参数就可完全描述质点状态的运动)，我们常以弹簧作为这类一维弹性振动的代表模型(图5-3) 图5-3 弹簧振子的振动 解：令质点的运动参数为 质点离开平衡位置的距离，于是质点运动的瞬时速度 振动，瞬时加速度 9 已知质点在介质中运动所受阻力与质点速度成正比， 为阻力系数) 根据胡克定律，质点受到的弹性恢复力与位移成正比， 为弹性系数) 再设质点受到外力 根据牛顿第二定律， 将上述各力的数学式代入，可得 上式即为有阻尼的质点弹性振动的微分方程. 10 例4. 落体运动 解：由牛顿第二定律 ，则微分方程为 若当 时， 又由 得 再应用如上初始数据对方程式在区间上作两次积分，即得 11 例5.牛顿冷却定律 一温度为5000C物体置于200C的环境中，2分钟后温度降为4000C，问5分钟后温度降至多少度？ 解.本问题为物体冷却过程，该过程的状态参数为温度，根据牛顿冷却定律，即物体温度下降速率和物体与环境温差成正比，将定律表示成数学形式即得 其中k为比例常数，由此即得时间t与温度T的微元关系 12 积分后即解得 将初始状态数据 以及 代入，即可确定 于是即得物体降温过程的定量描述 令 代入即得10分钟后的温度 13 数 海 拾 贝 生死人生数 英国诗人捷尼逊写过一首诗，其中几行是这样写的：“每分钟都有一个人在死亡，每分钟都有一个人在诞生……”   有个数学家读后去信质疑，信上说：“尊敬的阁下，读罢大作，令人一快，但有几行不合逻辑，实难苟同。根据您的算法，每分钟生死人数相抵，地球上的人数是永恒不变的。但您也知道，事实上地球上的人口是不断地在增长。确切地说，每分钟相对地有1.6749人在诞生，这与您在诗中提供的数字出入甚多。为了符合实际，如果您不反对，我建议您使用7/6这个分数，即将诗句改为：“每分钟都有一个人死亡，每分钟都有一又六分之一人在诞生......”