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线性代数行列式完整版(2).ppt请审核
* 解 (3) 返 回 箭形行列式 第55页,共112页。 * 阜阳师范学院数学与计算科学学院 第56页,共112页。 * 阜阳师范学院数学与计算科学学院 第57页,共112页。 * 阜阳师范学院数学与计算科学学院 第58页,共112页。 * 阜阳师范学院数学与计算科学学院 第59页,共112页。 * 阜阳师范学院数学与计算科学学院 第60页,共112页。 例9 证明 * 证 第61页,共112页。 证 * 第62页,共112页。 * 2.证明 1.计算行列式 思考练习 (行列式的性质) 第63页,共112页。 * 思考练习(行列式性质答案) 第64页,共112页。 * =右边 思考练习(行列式性质答案) 第65页,共112页。 第1.3 节 行列式按行(列)展开 * 1.行列式按一行(列)展开 余子式与代数余子式 在n阶行列式 中,划去元素aij所在的第i行和第j列,余下的元素按原来的顺序构成的n-1阶行列式,称为元素aij的余子式,记作Mij; 而Aij=(-1)i+jMij称为元素aij的代数余子式. 返 回 返回 第66页,共112页。 例1 求出行列式 * 解 第67页,共112页。 * 引例: 第68页,共112页。 * 阜阳师范学院数学与计算科学学院 第69页,共112页。 定理1.4 行列式按一行(列)展开定理 * n阶行列式 等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和,即 第70页,共112页。 证 * (i)D的第一行只有元素a11?0,其余元素均为零,即 而 A11=(-1)1+1M11=M11 ,故D= a11A11 ; 第71页,共112页。 * (ii)当D的第i行只有元素aij?0时,即 将D中第i行依次与前i-1行对调,调换i-1次后位于第1行 D中第j列依次与前j-1列对调,调换j-1次后位于第1列 经(i-1)+(j-1)= i+j-2次对调后, aij 位于第1行、第1列,即 (iii) 一般地 由 (i) 第72页,共112页。 * 由(ii) 第73页,共112页。 定理1.5 n阶行列式 * 的任意一行(列)的各元素与另一行(列)对应的代数余子式的乘积之和为零,即 第74页,共112页。 证 * 考虑辅助行列式 0= t列 j列 第75页,共112页。 例2 计算行列式 * 解 法1 法2 选取“0”多 的行或列 第76页,共112页。 * 阜阳师范学院数学与计算科学学院 第77页,共112页。 * 注: 第78页,共112页。 例4 讨论当 为何值时, * 解 所以当论 , 第79页,共112页。 方法2 * n个数中比i大的数有n- i个(i=1,2,…,n),若在排列 x1x2…xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1…x1中对i构 成的逆序为(n- i)-li,于是两排列中对i构成的逆序之和 为 li+[(n-i)-li]= n-i (i=1,2,…,n) 此即 第23页,共112页。 (二)n阶行列式定义 * 分析: (i)每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的 乘积构成,除符号外可写为 (ii)符号为 “+” 123 231 312 (偶排列) “-” 321 213 132 (奇排列) (iii)项数为 3!=6 第24页,共112页。 推广之,有如下n 阶行列式定义 第25页,共112页。 * 定义: 是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积 并冠以符号 的项的和. (i) 是取自不同行、不同列的n个元素的乘积; (ii)行标按自然顺序排列,列标排列的奇偶性 决定每一项的符号; (iii) 表示对所有的 构成的n!个排列求和. 第26页,共112页。 例1 证明下三角行列式 * 证: 由定义 和式中,只有当 所以 下三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积 . 第27页,共112页。 第28页,共112页。 例2 计算 * 解 由行列式定义, 和式中仅当 第29页,共112页。 注: 第30页,共112页。 例3 用行列式的定义来计算行列式 解 设 练习: 第31页,共112页。 例4 应为何值, 符号是什么? 此时该项的 解 此时 或 (1) 若 则 取负号. (2) 若 则 取正号. 若 是五阶行列式 的一项,则 第32页,共11
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