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第 15 章 工具变量估计与两阶段最小二乘法
在本章中,我们进一步研究多元回归模型中的 内生解释变量 ( endogenous explanatory variable )
问题。在第 3 章中,我们推导出,遗漏一个重要变量时 OLS 估计量的偏误;在第 5 章中,我们说明了在 遗 漏变量 ( omitted variable )的情况下, OLS 通常是非一致性的。第 9 章则证明了,对未观测到的解释变 量给出适宜的代理变量,能消除(或至少减轻)遗漏变量偏误。不幸的是,我们不是总能得到适宜的代理 变量。
在前两章中,我们解释了存在不随时间变化的遗漏变量的情况下,对综列数据如何用固定效应估计或 一阶差分来估计随时间变化的自变量的影响。尽管这些方法非常有用,可我们不是总能获得综列数据的。 即使能获得,如果我们的兴趣在于变量的影响,而该变量不随时间变化,它对于我们也几无用处:一阶差 分或固定效应估计排除了不随时间变化的变量。此外,迄今为止我们已研究出的综列数据法还不能解决与 解释变量相关的随时间而变化的遗漏变量的问题。
在本章中,我们对内生性问题采用了一个不同的方法。你将看到如何用工具变量法( IV )来解决一个
或多个解释变量的内生性问题。就应用计量经济学中线性方程的估计而言,两阶段最小二乘法( 2SLS 或 TSLS)是第二受人欢迎的,仅次于普通最小二乘。
我们一开始先说明,在存在遗漏变量的情况下, 如何用 IV 法来获得一致性估计量。此外, IV 能用于解 决含误差变量 ( errors-in-variable )的问题, 至少是在某些假定下。下一章将证明运用 IV 法如何估计联立 方程模型。
我们对工具变量估计的论述严格遵照我们在第 1 篇中对普通最小二乘的推导,其中假定我们有一个来 自基本总体的随机样本。这个起点很合人意,因为除了简化符号之外,它还强调了应根据基本总体来表述 对 IV 估计所做的重要的假定(正如用 OLS 时一样)。如我们在第 2 篇中所示, OLS 可以应用于时间序列数 据,而工具变量法也一样可以。 第 15.7 节讨论 IV 法应用于时间序列数据时出现的一些特殊问题。 在第 15.8 节中,我们将论述在混合横截面和综列数据上的应用。
15.1 动机:简单回归模型中的遗漏变量
面对可能发生的遗漏变量偏误(或未观测到的异质性) ,迄今为止我们已讨论了三种选择: ( 1)我们可 以忽略此问题,承受有偏、非一致性估计量的后果; (2 )我们可以试图为未观测到的变量寻找并使用一个
适宜的代理变量;(3)我们可以假定遗漏变量不随时间变化,运用第 13与14章中的固定效应或一阶差分
方法。若能把估计值与关键参数的偏误方向一同给出,则第一个回答是令人满意的。例如,如果我们能说 一个正参数(譬如职业培训对往后工资的影响)的估计量有朝零偏误 ,并且我们找到了一个统计上显著的
正的估计值,那么我们还是学到了一些东西:职业培训对工资有正的影响,而我们很可能低估了该影响。 不幸的是,相反的情况经常发生,我们的估计值可能在数值上太大了,以致我们要得出任何有用的结论都 非常困难。
第 9.2 节中讨论的代理变量解也能获得令人满意的结果,但并不是总可以找到一个好的代理。该方法 试图通过用代理变量取代不可观测的变量,来解决遗漏变量的问题。
另一种方法是将未观测到的变量留在误差项中,但不是用 OLS 估计模型,而是运用一种承认存在遗漏
变量的估计方法。这便是工具变量法所要做的。
举例来说,考虑成年劳动者的工资方程中存在未观测到的能力的问题。一个简单的模型为:
log( wage ) 0 1educ 2abil e,
其中 e 是误差项。在第 9 章中,我们说明了在某些假定下,如何用诸如 IQ 的代理变量代替能力,从而通 过以下回归可得到一致性估计量
log( wage) 对 educ, IQ 回归然而,假定不能得到适当的代理变量(或它不具备足以获取一致性估计量所需的性质) 。这样一来,我们将
abil 放入误差项中,留下来的就是简单的回归模型:
log( wage) 0 1educ u,
) 其中 u 包含了 abil 。当然,如果用 OLS 估计方程( 15.1 ),若是 educ 与 abil 相关,得到的结果将是 的有偏、非一致性估计量。
最后证明是,假如我们能为 educ 找到一个工具变量,我们仍可以根据方程( 15.1 )来进行估计。为 描述该方法,将简单回归模型写成:
y 0 1x u,
(15.2 )
其中我们认为 x 与 u 相关:
Cov ( x, u) 0.
(15.3 )
工具变量法无论 x 与 u 相关与否都行得通,但是,如果 x 与 u 不相关,我们应该使用 OLS ,其原因我们 将在后面看到
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