几种特殊类型行列式及其计算.docxVIP

精品资料 精品资料 精品资料 精品资料 1行列式的定义及性质 1.1定义[3] n级行列式 aii ai2 HI ain a21 a22 III a2n TOC \o 1-5 \h \z ? I ? ? * * * 1 ? an1 an2 HI ann 等于所有取自不同行不同列的个 n元素的乘积 如户2）2 11信川”（1）的代数和，这里 用2惘1是 n的一个排列，每一项（1）都按下列规则带有符号：当猫2惘jn是偶排列时，（1）带正号，当 j1 j2惘jn是奇排列时，（1）带有负号.这一定义可写成 TOC \o 1-5 \h \z a11 a12 * am a21 a22 ID a2n — , . T，j1j2l-I jn \ , ，■ , = 1 （-1）“ 勾包」1鸟0 ■r ■ i ... ? ? j1 j2lll jn an1 an 2 III ann, 这里 ￡ 表示对所有n级排列求和. j1j2lHjn 1.2性质[4] 性质1.2.1行列互换，行列式的值不变. 性质1.2.2 某行（列）的公因子可以提到行列式的符号外. 性质1.2.3 如果某行（列）的所有元素都可以写成两项的和，则该行列式可以写成两行列 式的和；这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行（列）与原行列 式相同. 性质1.2.4 两行（列）对应元素相同，行列式的值为零. 性质1.2.5 两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零. 性质1.2.6 某行（列）的倍数加到另一行（列）对应的元素上，行列式的值不变. 性质1.2.7交换两行（列）的位置，行列式的值变号. 2行列式的分类及其计算方法 箭形（爪形）行列式 这类行列式的特征是除了第1行（列）或第n行（列）及主（次）对角线上元素外的其他元素均 为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上 （下）三角形行列式来计算.即利用对 角元素或次对角元素将一条边消为零. 例1计算n阶行列式 解将第一列减去第二列的ai11IH1a20III0a3IH0IIIIIIIII ill III100IIIan1 、 ” … 解将第一列减去第二列的 ai 11IH1 a2 0 III 0 a3 IH 0 III III III ill III 1 0 0 III an 1 、 ” … ，倍，第三列的 2倍…第n列的1倍，得 a2 a3 1 1 a1 ---HI — a2 0 0 III 0 a2 0 in 0 a3 HI 0 III III III HI III an =n 5一 I i=2 ai J 两三角型行列式 这类行列式的特征是对角线上方的元素都是 c,对角线下方的元素都是b的行列式，初看, 这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当 b=c时可以化为上面列举的爪形来计算，当b ￥ c时则用拆行（列）法［9］来计算.例2计算行列式解当b=c时ai b=c时可以化为上面列举的爪形来计算，当 b ￥ c时则用拆行（列）法［9］来计算. 例2计算行列式 解当b=c时 ai c b a2 b b III III b b c III c c III c a3 III c III III HI b III an a b b a2 Dn= b b III IIIb b b I b I a3 I HI I b I an 将第2行到第行n都减去第1行，则Dn化为以上所述的爪形，即 ai b -a1 Dn = b -a1 III b -a1 b b III b a2 -b 0 0 0 a3-b IM 0 III III 川 III 0 0 川 an-b 用上述特征1的方法，则有 n ai - b! b - ai i =2 Dn b ^a1 b -a1 III b -a1 0 0 III 0 a2-b 0 III 0 0 a3-b III 0 III III HI III 0 0 III an-b n n :11 ai - b - b 1a- bl| i_a- b i a Hlb V i 1 当b￥c时，用拆行（列）法［9］ ,则 化简得Xi a a |lb x2aliDn = b b X3 ||III IH III IIb b b ||X1 a a |Hb X2 a |||b b X3 \\\ 化简得 Xi a a |l b x2ali Dn = b b X3 || III IH III II b b b || X1 a a |H b X2 a ||| b b X3 \\\ IH III HI III b b b |H II Xn aaaHIb HIb Xi b + b III b a a X2 a b X3 III IIIb b