空间向量及其线性运算.docx

第 PAGE 230 页 共 NUMPAGES 376 页 1．1空间向量及其运算 1．1.1空间向量及其线性运算 课程标准 核心素养 1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念． 2.掌握空间向量的线性运算. 数学抽象 直观想象 eq \a\vs4\al([问题导入]) 　　　　预习课本P2～5，思考并完成以下问题 1．零向量、单位向量、相反向量、相等向量、共线向量是如何定义的？与平面向量中的定义相类似吗？ 　 　 　 2．空间向量的线性运算满足交换律、结合律及分配律吗？ 　 　 　 3．实数λ与空间向量a的乘积λa的方向如何确定？ 　 　 　 4．共线向量(平行向量)、方向向量及共面向量的定义分别是什么？ 　 　 　 eq \a\vs4\al([新知初探]) 知识点一　空间向量的有关概念 1．定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度：空间向量的大小叫做空间向量的长度或eq \a\vs4\al(模). 3．表示法：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(?1?几何表示法：空间向量用有向线段表示.,?2?字母表示法：用字母表示，若向量a的起,点是A，终点是B，则向量a记作eq \o(AB,\s\up7(―→))，其模记,为|a|或|eq \o(AB,\s\up7(―→))|.)) 4．几个特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为eq \a\vs4\al(0)的向量 0 单位向量 模为eq \a\vs4\al(1)的向量 |a|＝1或|eq \o(AB,\s\up7(―→))|＝1 相反向量 与a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量 －a 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b或 eq \o(AB,\s\up7(―→))＝eq \o(CD,\s\up7(―→)) 共线向量或平行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 a∥b或eq \o(AB,\s\up7(―→))∥eq \o(CD,\s\up7(―→)) [做一做] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)零向量与任意向量平行．(　　) (2)向量eq \o(AB,\s\up7(―→))的长度与向量eq \o(BA,\s\up7(―→))的长度相等．(　　) (3)空间向量a用几何表示法表示时，表示该向量的有向线段的起点可任意选取．(　　) (4)空间中任意两个单位向量必相等．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2.如图，在长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中： (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出eq \o(AA1,\s\up7(―→))的相反向量． 解：(1)由于长方体的高为1，所以长方体的4条高所对应的向量eq \o(AA1,\s\up7(―→))，eq \o(A1A,\s\up7(―→))，eq \o(BB1,\s\up7(―→))，eq \o(B1B,\s\up7(―→))， eq \o(CC1,\s\up7(―→))，eq \o(C1C,\s\up7(―→))，eq \o(DD1,\s\up7(―→))，eq \o(D1D,\s\up7(―→))，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个． (2)向量eq \o(AA1,\s\up7(―→))的相反向量有eq \o(A1A,\s\up7(―→))，eq \o(B1B,\s\up7(―→))，eq \o(C1C,\s\up7(―→))，eq \o(D1D,\s\up7(―→))，共4个． 知识点二　空间向量的线性运算 名称 代数形式 几何形式 运算律 加法 eq \o(OB,\s\up7(―→))＝eq \o(OA,\s\up7(―→))＋eq \o(AB,\s\up7(―→)) ＝a＋b 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c 减法 eq \o(CA,\s\up7(―→))＝eq \o(OA,\s\up7(―→))－eq \o(OC,\s\up7(―→)) ＝a－b 数乘 当λ＞0时，λa＝λeq \o(OA,\s\up7(―→))＝eq \o(PQ,\s\up7(―→))； 当λ＜0时，λa＝λeq \o(OA,\s\up7(―→))＝eq \o(MN,\s\up7(―→))； 当λ＝0时，λa＝0 结合律：λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb [想一想] 1．向量线性运算的结果还是向量吗？ 提示：是向量． 2．λa的长度是a的长度的λ倍吗？ 提示：不是，应是|λ|倍． [做一做] 1．化简eq \o(