高中数学-圆锥曲线有关焦点弦的几个公式应用.docxVIP

资料 资料 圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用 如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点， 则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问 题涉及到离心率、直线斜率(或倾斜角)、定比分点(向量)、焦半径和焦点弦长等有关知 识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命 题人青睐，在近几年的高考中频频亮相， 题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题， 也 有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用， 与大家 交流。 定理1已知点「是离心率为:的圆锥曲线/的焦点，过点：的弦」「与」的焦点所在 的轴的夹角为?，且-士 上1:。 的轴的夹角为?，且-士 上1:。 COS0- (1)当焦点「内分弦一二时，有 2-1 ［一； 如图1，AS AF+BF^cos5 = 如图1， AS AF+BF ^cos5 = 「一。 (2)当焦点「外分弦」J时(此时曲线为双曲线)，有 证明 设直线.是焦点：所对应的准线，点「在直线.上的射影分别为 以一 1,点J在 AF BF J J 二呂二 直线二匚上的射影为T。由圆锥曲线的统一定义得， 二1 ，又 (1) 当焦点：内分弦一二 时。 IBF BF _ 呂 它 _ 乂一］ ---，所以 （2） 当焦点「外分弦一二时（此时曲线为双曲线）。如图2,g注心皿二如二经四二 （2） 当焦点「外分弦一二时（此时曲线为双曲线）。 如图2, g注心皿二如二经四二 AS AF-BF ABF BF 总 +呂_ 見+ ] ，所以 a+i .i 一。 评注 特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同, 这一点很容易不加区别而出错。 C:^-^-=l（￡a0Ji0） 例1 （2009年高考全国卷n理科题）已知双曲线 的右焦点 为「，过：且斜率为门-；的直线交于」「两点。若 ，贝y 一’的离心率为（） A- 5.- C- Z).- 5 5 5 5 解这里丁，所以 又〕…，代入公式得ecos60* = 解这里丁，所以 又〕…，代入公式得 ecos60* = 4-1 -!U,所 6 以-:，故选」。 C：￡+4=lii0） 例2（ 2010年高考全国卷n理科第 12题）已知椭圆 一「厂 的离心 适 率为一。过右焦点且斜率为「一： ■-山的直线于「相交于」「两点，若/.L, = ,则卜 （） A\ B並。屈X cos，所以二，设直线丄匚的倾斜角为丁，代入公式得;一——■■匚，故选J cos ，所以 二，设直线丄匚的倾斜角为丁，代入公式得 ;一——■■匚，故选J。 2 例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线 : 的焦点「作倾斜角为 凹= 的直线，与抛物线交于人口两点（点虫在y轴左侧），则有 解 如图3,由题意知直线.’与抛物线的地称轴的夹角匚_ ：；：T ,当点」在「轴左侧时, 设Q ，又 设Q ，又1，代入公式得 2-1 一， 解得！ 一所以1「匚 例4 （2010年高考全国卷I理科第 16题）已知：是椭圆「的一个焦点，J是短轴的 一个端点，线段的延长线交C于点D,且丽二2FD，则C的离心率为 解 设直线_1与焦点所在的轴的夹角为 解 设直线_1与焦点所在的轴的夹角为 ，又j ■-:，代入 6 =— 公式得 ］，所以 例5 （自编题）已知双曲线= 1((2 0,4 0) 例5 （自编题） 已知双曲线 = 1((2 0,4 0) 的离心率为 且斜率为八? |的直线交一的两支于r两点。 解,!-,因直线与左右两支相交，故应选择公式2+1一 -, 解 ,!-,因直线与左右两支相交， 故应选择公式 2+1 一 -, 代入公式得婕co吩空 说，3 代入公式得 婕co吩空 说， 3 3-1，所以 ?爺 — /I ai it — tan 30 = _所以■■■-..■L ,所以 匚。 定理2已知点J和直线「是离心率为:的圆锥曲线的焦点和对应准线，焦准距（焦 点到对应准线的距离）为 」。过点」的弦」J与曲线」的焦点所在的轴的夹角为 1^1 = 1^1 = 1-e cos 0\ 证明设点 在准线.上的射影分别为 ，过点」作轴「二的垂线交直线 M=,= M 于点二，交直线于点一。由圆锥曲线的统一定义得，丄“ 二i|，所以 匚一」茁：-：4 （1）当焦点「内分弦」J时。如图4,T…二 亠丄1 一 p ‘口， |醐期/|?|碉￥-|剑财0。甌卜咻+|例⑷⑹跑|=血?|5F|cosfiJ， 叭零 1^1= ep 所以较长焦半径 ，较短焦半径 「【一 一」。 所以\AB\ = \AF\ + \BF\ 所以 \AB\ = \AF\ + \BF\ = 1-ecosfl ep _ 2sp ?。 （2）当焦点：外分弦丄’时（此时曲线为双曲线）。 如图5,幽卜|姗一駆卜M讹-p