一文搞定最值系列之“瓜豆原理”(重磅精编).docxVIP

图 1 图 2 瓜豆原理 原理概述 俗语云“种瓜得瓜，种豆得豆”，数学上有“种线得线，种圆得圆”：平面内，动点Q 随着 动 点P 的运动而运动， 我们把点P 叫做主动点， 点Q 叫做从动点； 当这两个动点与某个定点连 线的夹角一定，且与该定点距离之比一定时（简记为“定角、定比”），易判断两个动点与 定 点构成的三角形形状一定，大小可能变，此时两个动点的轨迹形状相同,瓜豆问题的本质是 旋转、相似（包含全等）变换，往往与共点旋转（手拉手）模型相结合，考查类型有： （1）确定动点轨迹；（2）求运动路程；（3）求线段最值、面积最值等. 基本模型 一、种直线得直线（主动点与从动点的轨迹都是直线或直线上一部分） 1. 1. 图 1 图 2 如图 1，已知 l 为定直线， O 为直线外一定点， P 为直线 l 上一动点，连接 OP，若 Q 为直线 OP 上一点（一般在线段 OP 上），且 Q 点到 O 点的距离与P 点到 O 点的距离之比为定值 k （k＞0 且 k≠1），即 OQ k ，此时我们可认为 Q、P 两点与定点 O 连线的夹角一定（夹角 OP 为 0°），符合瓜豆原理“定角、定比”的条件，因而 Q 点的运动轨迹也是直线；如图 2，另 取 一组对应的点 P’、 Q’,则 OQ OQ k ，因而△OQ’Q∽△OP’P，相似比为 k，可知从动 OP OP 点 Q 在平行于 l 的直线 m 上运动.易判断点 O 到直线 m 和 l 的距离之比也等于k. 2. 2. 如图 1，已知 l 为定直线， O 为直线外一定点， P 为直线 l 上一动点，将射线OP 绕着点 O 按 确定的方向（如顺时针）旋转一个确定的角度α（0＜α＜180°），得到射线 OM，在射线 OM 上取一点Q，使 OQ k（k 为大于0 的定值） ，此时符合瓜豆原理“定角、 定比”的条件， OP 因而 Q 点的运动轨迹也是直线；如图 2，另取一组对应的点 P’、 Q’,则Q 点的运动轨迹即 为直线 QQ’，∵∠POQ=∠P’OQ’= α，∴∠POP’=∠QOQ’，又∵ OQ OQ k， OP OP ∴△OPP’∽△OQQ’.特别的，当 k=1 时，△OPP’≌△OQQ’.k≠1 时，△OQQ’可看做由 △OPP’绕着 O 点旋转并放缩（0＜k＜1 时缩小， k＞1 时放大）而来.直线 QQ’可看做由直 线 l 绕着点 O 顺时针旋转α角而来， 0＜α＜90°时，两直线的夹角即为α. 典型例题 1-1 如图，在平面直角坐标系中， A（4,0）， B 为 y 轴正半轴上 一动点，以 AB 为一边向下作等边△ABC，连接 OC，则线段 OC 的最小值为_________. 【分析】 B 为主动点， C 为从动点； 方法一：与从动点有关的线段最值，优先转化为与主动点有关 的线段最值，将线段OA 绕着点 A 顺时针旋转 60°，得到线 段O’A，构造全等三角形可实现线段的转化； 方法二：两动点与定点 A 连线的夹角为定值（60°），到点 A 的距离之比为定值 1（即 CA:BA=1），符合瓜豆原理“定角、定比”的特征，主动点B 的 轨迹为射线，则从动点C 的轨迹也为射线，确定其轨迹后，依据“垂线段最短”求OC 得 最小值. 【解答】 方法一： 如图 1，将线段 OA 绕着点 A 顺时针旋转60°， 得到线段 O’A； 连接O’B， 易证△AO’B≌△AOC，则 OC=O’B，即求 O’B 的最小值；由于 O’为定点，点 B 在 y 轴 正半轴上运动，如图 2，由垂线段最短，知 O’B⊥y 轴时， O’B 最小，连接 OO’，则 △AOO’为等边三角形，作O’H⊥OA 于 H，此时 O’B=OH= 1 OA=2，即 OC 的最小值为2. 2 图 1 图 2 方法二：如图3，当点 B 位于原点时，对应的点 C 位于C 1（2，-2 3 ） 处， 处， 当点 B 位于B 2（0，4 3 ）时， 对应的点 C 位于C2（0，- 4 3 ） 处，则点 C 的运动轨迹为射线C1C2 ，当 OC’⊥C1C2 时， OC’ 最小；易证△ AB2O ≌△ AC2C1 ，∴∠ AC2C1 =∠AB2O =60°， 则∠OC2C =60°，∴OC’= 3 OC 2 =2，即 OC 的最小值为 2. 3 3 2 【小结】 1.动点引起的最值问题，经常需要确定动