数学物理 第3章 幂级数展开2.ppt

* 第三章 幂级数展开2 * 解析延拓的唯一性(定理)：设区域B内的解析函数F1(z)和F2(z) 在B内的某个子区域b上相等，是b上解析函数f(z)的解析延拓，则在B内有F1(z)=F2(z). 证明： 设f(z)是区域b上的解析函数, 假定存在两种方法把f(z)解析延拓到一个较大的区域B上，得到的函数不同，分别记为F1(z)和F2(z) ，则在区域b内有 或者 附录C：解析延拓的唯一性 * 第三章 幂级数展开2 * 应用反证法, 假定函数F1(z)-F2(z) 在B上解析, 但是并非处处为零 (在b上处处为零). 如右图, b的境界线上一点z0的邻域(虚线内) 有一部分??b；另一部分??B, F1(z)-F2(z) 不一定为零。 B b ? ? z0 在z0为邻域内作泰勒展开(以z0为中心)： 设这些系数中的第一个不为零的是am (m是有限数), 于是得到 * 第三章 幂级数展开2 * 在z0的邻域内, |z-z0|??, 其中?为任意小的正数, 因此上式等号右边“系数”满足 上式说明: 函数F1(z)-F2(z)要在a上处处为零, 所有系数ak (k? m)必然全部为零, 这就导致在b上也处处为零, 与原来的假设相矛盾。 于是有 * 第三章 幂级数展开2 * 总结下来, 区域B上的解析函数F1(z)-F2(z)不但在子区域b上处处为零, 而且必在整个区域B上处处为零. 换言之, b区域函数f(z)解析延拓至B区域的对应函数F(z)是唯一的。 解析函数的唯一性(推广)：设区域B内有两个解析函数F1(z)和F2(z)，且在含于B内的某个子区域b上相等，则在B内有F1(z)=F2(z). 第三章 幂级数展开2 第三章 幂级数展开2 * 第三章 幂级数展开2 * 第三章 幂级数展开 §3.1 复数项级数 §3.2 幂级数 §3.3 泰勒级数展开 §3.4 解析延拓 §3.5 洛朗级数展开 §3.6 孤立奇点的分类 （本章计划授课6学时） * 第三章 幂级数展开2 * §3.3 泰勒级数展开 从上节内容我们知道幂级数的和函数在收敛圆内部为解析函数，本节进一步研究解析函数的幂级数展开问题。 1、泰勒(Taylor)定理 设函数 f(z)以z0为圆心的圆周CR内解析，则对于圆内任一点z，函数f(z)可展开成幂级数形式 其中系数为 为 内包含z、且与 同心的圆. （20） * 第三章 幂级数展开2 * 证明： 根据柯西公式 z0 z CR CR1 R R1 ? 其中 由上节例1可知，当 时， （21） * 第三章 幂级数展开2 * 根据M判别法, Eq. (21)等号右边的级数在圆周CR1上一致收敛. 于是 考虑到f(?)/(?-z0)是CR1上有界函数, 因此上式右边的级数同样也是一致收敛的, 所以可以沿CR1逐项积分： ? （22） * 第三章 幂级数展开2 * 根据柯西公式的推广2： 因此Eq. (22)可以写成以z0为中心的泰勒级数 其中|z-z0|?R1?R，如右图所示。 z0 z CR CR1 R R1 * 第三章 幂级数展开2 * 2、泰勒展开的唯一性 应用反证法，假定f(z)在收敛圆|z-z0|R内另有一个幂级数展开 幂级数在其收敛圆内一致收敛, 因此可逐项求导, 所以 * 第三章 幂级数展开2 * 当z=z0时，由上式得到 其中ak正是泰勒级数的展开系数, 由Eq. (20)给出. 可见，解析函数的泰勒展开式唯一. 以此类推，幂级数的k阶导数为 （23） * 第三章 幂级数展开2 * 说明： 1）函数f(z)在区域B内解析，则f(z)在B内任一点的邻域内可展成一致收敛的幂级数(泰勒级数)，反之成立！ 2）解析函数泰勒展开式唯一，展开系数不一定非用公式－Eq.(20)求解。 下面介绍几个求解泰勒展式的例子。 * 第三章 幂级数展开2 * 例1. 在z0=0的邻域上把f(z)=ez展开。 解：直接利用泰勒展开公式 . 于是 收敛半径为 可见只要z有限，f(z)＝ez以z0为中心的泰勒级数就收敛。 （24） * 第三章 幂级数展开2 * 例2. 在z0=0的邻域上把f(z)=cos(z)泰勒级数展开。 解1(直接用公式法)： 于是得到 ( ). * 第三章 幂级数展开2 * 解2 (间接求级数展开法)： 收敛半径为 （25） * 第三章 幂级数展开2 * 例3. 在z0=1的邻域内把f(z)=Ln(z)展开。 解： 展开中心z0＝1并非Ln(z)支点