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必用平行四边形知识点及典型例题 必用平行四边形知识点及典型例题 PAGE PAGEPAGE 5 必用平行四边形知识点及典型例题 平行四边形知识点及典型例题 一、知识点讲解：. 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 1．平行四边形的性质： 四边形ABCD是平行四边形? 2.平行四边形的判定： . 3. 矩形的性质： 因为四边形ABCD是矩形? (4)是轴对称图形，它有两条对称轴． 4矩形的判定： (1)有一个角是直角的平行四边形； (2)有三个角是直角的四边形； (3)对角线相等的平行四边形； (4)对角线相等且互相平分的四边形． ?四边形ABCD是矩形. 两对角线相交成60°时得等边三角形。 5. 菱形的性质： 因为ABCD是菱形? 6. 菱形的判定： ?四边形ABCD是菱形. 菱形中有一个角等于60°时，较短对角线等于边长； 菱形中，若较短对角线等于边长，则有等边三角形； 菱形中，两对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，每个直角三角形的斜边是菱形的边，两直角边分别是两对角线的一半。 菱形的面积等于两对角线长积的一半。 7.正方形的性质： 四边形ABCD是正方形? 8. 正方形的判定： ?四边形ABCD是正方形. 9. 三角形中位线 （1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．每个三角形都有三条中位线． （2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 10. 直角三角形特殊性质 （1）斜边上的中线等于斜边的一半。 （2)300所对的直角边等于斜边的一半。 射影定理，勾股定理，面积不变定理 特殊的、平行四边形知识点 矩形 菱形 正方形 定义 有一角是直角的平行四边形叫做矩形 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 性 质 边 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行，四边相等 角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 对角线 互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 判定 ·有三个角是直角; ·是平行四边形且有一个角是直角; ·是平行四边形且两条对角线相等. ·四边相等的四边形； ·是平行四边形且有一组邻边相等； ·是平行四边形且两条对角线互相垂直。 ·是矩形，且有一组邻边相等； ·是菱形，且有一个角是直角。 (矩形+菱形） 对称性 (条数） 既是轴对称图形，又是中心对称图形 面积 学生记住 二、例题 例1：如图1，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F. 求证：∠BAE =∠DCF. （图1） （图1） C A B D E F 例2如图2，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F. OA O A B C D E F （图2） 例3．已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：四边形DFGE是平行四边形． 图7ABCD 图7 A B C D E F O 求证：四边形AFCE是菱形. 例5、顺次连接四边形各边中点，所得的图形是 ； 顺次连结矩形四边中点所得四边形是_________； 顺次连结菱形四边中点所得四边形是_________； ABCDMNE(第6题)例6.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线， A B C D M N E (第6题) （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形 ADCE是一个正方形？并给出证明． 例7.如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点， PE⊥BC，垂足为E， PF⊥CD，垂足为F， 求证：EF＝AP 例8. 如图所示，E为□ABCD外，AE⊥CE,BE⊥DE， 求证：□ABCD为矩形 DCBAFEG例9、如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9cm，宽AB＝ D C B A F E G 例10. 18.①如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且 DP=OC，连结CP，试判断四边形CODP的形状．并证明。 ②如果题目中的矩形变为菱形，则四边形CODP的形状是______________ ③如果题目中的矩形变为正方形，则四边形CODP的形状是____________ BAD B A D C P O B A D C P O B A D C P O 例11. 如图所示，.四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG． （1）求证：AE=CG； （2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，