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* CHAPTER 11 压杆稳定 目录 * 基 本 要 求 1.明确稳定平衡、不稳定平衡和临界载荷的概念,理解两端铰支细长压杆临界载荷公式的推导过程。 2.理解长度系数μ的力学意义,熟练掌握四种常见约束条件下细长压杆临界载荷的计算。 3.明确压杆柔度、临界应力和临界应力总图的概念,熟练掌握大柔度、中柔度和小柔度三类压杆的判别方法及其临界载荷的计算和稳定性校核方法。 4.了解根据压杆性条件设计压杆截面尺寸的方法。 * §11. 1 压杆稳定概念 一、稳定性概念 稳定性:承载物体在外界干扰下保持原有平衡状态的能力。 稳定的平衡 不稳定的平衡 稳定的分类: * 二、 弹性细长受压直杆的稳定性 (1)当轴向力 P 较小时,其平衡形态为直线。 此时如有一微小的侧向干扰力,压杆会产生微小的横向弯曲变形; 一旦干扰力撤去,压杆仍可回到原来的直线平衡状态。 (2)当轴向力P 较大时,如有一微小的侧向干扰力,压杆产生弯曲变形; 此时,原来的直线平衡状态是稳定的 此时,原来的直线平衡状态是不稳定的 当侧向力去掉后,杆不能回到原来的直线平衡状态。而是处于曲线平衡状态。 稳定的平衡 不稳定的平衡 失稳(曲屈) 使杆件保持稳定平衡状态的最大压力 ——临界压力 * 使杆件保持稳定平衡状态的最大压力 ——临界压力 稳定的平衡 不稳定的平衡 失稳(曲屈) 压杆的临界压力Pcr越高,越不易失稳,即稳定性越好。 研究压杆稳定性的关键是确定临界压力。 细长压杆失稳时的应力一般都小于强度破坏时的应力。 * 工程实例 薄壁圆筒受外压作用 * §11. 2 细长压杆的临界压力 (一)两端铰支的细长杆受压力P作用: 将其代入挠曲线近似微分方程: 引入记号: 此方程的通解: P x y O l x P M x y 边界条件: ——挠曲线是一条正弦曲线 * 3.Pcr与 杆件的支承条件有关。 2.如果截面对于不同轴的惯性矩I不同,确定临界压力需根据最小惯性矩Imin计算。即失稳总是在抗弯能力最小的纵向平面内; P x y O l x 两端铰支细长压杆的临界压力Pcr的计算公式 —— 两端铰支压杆的欧拉公式 说明: 1. Pcr与 EI 成正比;杆长 l 成反比; * 例:图示两端铰支矩形截面细长压杆,b=40mm,h=30mm,l =1.5m,材料为A3钢,E=206GPa,试按欧拉公式计算其临界压力。 解: 由于两端铰支压杆,各个方向约束相同,故必在最小刚度平面内失稳。 由截面形状可知: 代入欧拉公式,有 * (二) 其他支座条件下压杆的临界压力 * 欧拉临界压力公式的普遍形式 相当长度(为把压杆折算成两端铰支压杆的长度) —— 长度系数,与约束性质有关。 * 例:长方形截面细长压杆,b/h=1/2;如果将 b改为 h 后仍为细长杆,临界力Pcr是原来的多少倍? 解: Pcr b h z y h h * 例:圆截面的细长压杆,材料、杆长和杆端约束保持不变,若将压杆的直径缩小一半,则其临界压力为原压杆的_____;若将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面,则其临界力为原压杆的_____。 解: (1) (2) 为原压杆的 * §11. 3 不同类型压杆临界力的计算 临界压力作用下压杆的应力 临界应力: 将I用惯性半径i表示: 令 称为压杆的柔度或细长比,无量纲量。反映杆端约束情况、杆长、截面形状和尺寸等因素对临界应力的影响。 欧拉公式的应力表达形式 一、 临界应力、柔度或细长比 二、 欧拉公式的适用范围 即: 记: 欧拉公式的适用范围为: * 压杆的柔度或细长比: 欧拉公式的适用范围: 满足此式的压杆,称为大柔度杆或细长杆 λ1 仅与材料的性质有关,如,Q235钢: 三、中、小柔度杆的临界应力 直线公式 其中:a 、b 为与材料有关的常数。 适用范围: —— 塑性材料 —— 脆性材料 直线公式的适用范围: 满足此式的压杆,称中柔度杆或中长杆。 当柔度小于 时,采用经验公式计算临界力 * 抛物线公式 若 称为小柔度杆或短粗杆。 此时压杆一般不发生失稳,其破坏大多由强度不够引起: —— 塑性材料 —— 脆性材料 四、临界应力总图 大柔度杆 中柔度杆 小柔度杆 O A B C D * §11. 4 压杆的稳定性校核 1. 压杆的临界压力计算 对大柔度杆: 对中柔度杆: 2. 压杆的稳定性条件 设压杆的稳定安全系数为:nst 则压杆的许可压力为: 压杆的稳定性条件可表示为: P 为压杆的实际工作压力。 若记压杆的临界压力P cr 与实际工作压力 P 之比为压杆工作安全系数: n 则稳定性条件为: 说明: (1)稳定安全系数 一般比强度安全系数高; (2)稳定性计算的三类问题 * 例1:空气压缩机
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