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平行线的性质(基础)知识讲解 平行线的性质(基础)知识讲解 PAGE PAGE 平行线的性质(基础)知识讲解 平行线的性质（基础）知识讲解 【学习目标】 1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理； 2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念； 【要点梳理】 要点一、平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 要点诠释： （1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”． (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质． 要点二、平行的传递性 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 要点三、两条平行线的距离 同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线 的距离． 要点诠释： （1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离． (2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等． 【典型例题】 类型一、平行线的性质 1．如图所示，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°．那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗为什么． 【思路点拨】本题已知条件中，包含了两个层次：第一层次是由DE∥BC，可得∠1＝∠4，∠1+∠2＝180°；第二层次是由DF∥AB，可得∠3＝∠2或∠3+∠4＝180°，从而解出∠2、 ∠3、∠4的度数． 【答案与解析】 解：∵ DE∥BC， ∴ ∠4＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)． ∠2+∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． ∴ ∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝115°． 又∵ DF∥AB(已知)， ∴ ∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)． ∴ ∠3＝115°(等量代换)． 【总结升华】平行线的性质：由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系． 举一反三： 【变式】（2015?大连）如图，AB∥CD，∠A=56°，∠C=27°，则∠E的度数为　　． 【答案】29°． 解：∵AB∥CD， ∴∠DFE=∠A=56°， 又∵∠C=27°， ∴∠E=56°﹣27°=29°. 类型二、两平行线间的距离 2．如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则( ) A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不确定 【答案】B 【解析】因为l1∥l2，所以C、D两点到l2的距离相等．同时△ABC和△ABD有共同的底AB，所以它们的面积相等． 【总结升华】三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合． 类型五、平行的性质与判定综合应用 3．（2015春?南通期末）如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由． 【思路点拨】首先判断∠AED与∠ACB是一对同位角，然后根据已知条件推出DE∥BC，得出两角相等． 【答案与解析】 解：∠AED=∠ACB． 理由：∵∠1+∠4=180°（平角定义），∠1+∠2=180°（已知）． ∴∠2=∠4． ∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）． ∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）． ∵∠3=∠B（已知）， ∴∠B=∠ADE（等量代换）． ∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）． ∴∠AED=∠ACB（两直线平行，同位角相等）． 【总结升华】平行线的判定和性质的因果关系恰好相反．在解题时，必须弄清“因”是什么，“果”是什么，欲证平行用判定，已知平行用性质． 4．如图所示，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝( ) A．180° B．270° C．360° D．540° 【答案】C 【解析】过点C作CD∥AB， ∵ CD∥AB， ∴ ∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行，同旁内角互补) 又∵ EF∥AB ∴ EF∥CD．（平行的传递性） ∴ ∠DCE+∠CEF=180°(两直线平行，同旁内角互补) 又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE ∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360° 【总结升华】这是平行线性质与平行公理的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”可以得到∠BAC +∠ACE+ ∠CEF＝360°． 举一反三： 【变