北京市清华大学附属中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题(无答案).docx

高一下学期期中考试试卷 数学 2021.4 （清华附中高G20级） 一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知是虚数单位，（ ）． A． B． C． D． 2．在中，，，，则的面积为（ ）． A． B． C． D．3 3．如图所示，已知在中，是边上的中点，则（ ）． A． B． C． D． 4．已知函数，则（ ）． A． B． C． D． 5．已知，是平面向量，“是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数的图像如图所示，是函数的导函数，记，，，则，，数值排序正确的是（ ）． A． B． C． D． 7．已知平面向量，满足，，，则（ ）． A．2 B． C．4 D．12 8．如图，是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔，．若某科研小组在坝底点测得，坝底至塔顶距离米，则大坝的坡角的余弦值为（ ）． A． B． C． D． 9．在上可导的函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）． A． B． C． D． 10．已知，，，，在同一平面内，，且，则的最大值为（ ）． A． B． C． D．4 二、填空题：（共5小题，每小题5分，共25分） 11．若复数是纯虚数，其中为虚数单位，则实数______． 12．已知，，．若，则实数的值为______． 13．小明用记录2020年4月份30天中每天乘坐公交车是否半小时内到家，方法为：当第天半小时内到家时，记，当第天不能半小时内到家时，记；用记录某交通软件预测该月每天乘坐公交车是否半小时内到家，方法为：当预测第天半小时内到家时，记，当预测第天不能半小时内到家时，记；记录完毕后，小明计算出，其中，那么该交通软件预测准确的总天数是______． 14．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______． 15．定义域为的函数，如果存在，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为单峰函数．那么下列函数是单峰函数的有______． ①；②；③；④． 三、解答题：（共6小题，共85分） 16．已知，，是同一平面内的三个向量，，． （Ⅰ）若与的方向相反，求的坐标； （Ⅱ）若，求与的夹角． 17．已知函数． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在上的最大值和最小值，并求取得最值时相应的的值． 18．已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间和极值； （Ⅲ）若函数的图像与直线仅有一个公共点，直接写出实数的取值范围． 19．如图，在四边形中，，，，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求． 20．已知函数在处的极值为2，其中． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）对任意的，证明恒有． 21．对任意给定的不小于3 的正整数，元集合，均为正整数集的子集，若满足： ①， ②， ③， 则称，互为等矩集． （Ⅰ）若集合与互为等矩集，求，的值； （Ⅱ）证明：如果集合，互为等矩集，那么对于任意的，集合，也互为等矩集； （Ⅲ）对于任意给定的正整数，是否存在两个元正整数集，互为等矩集？请说明理由．