弹性力学 空间问题的基本理论.pptxVIP

弹性力学 空间问题的基本理论会计学第1页/共53页第七章　空间问题的基本理论内容提要一、平衡微分方程二、物体内任一点的应力状态三、主应力 最大与最小的应力 四、几何方程及物理方程五、轴对称问题的基本方程例题徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学简明教程(第三版)第2页/共53页一平衡微分方程 在空间问题中，应力、形变和位移等基本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。 空间问题的基本方程，边界条件，以及按位移求解和按应力求解的方法，都是与平面问题相似的。因此，许多问题可以从平面问题推广得到。空间问题的基本理论弹性力学第3页/共53页一平衡微分方程取出微小的平行六面体，考虑其平衡条件: 空间问题的基本理论弹性力学第4页/共53页一平衡微分方程 由x 轴向投影力的平衡微分方程可得 因为 x , y , z 轴互相垂直，均为定向，量纲均为L，所以 x , y , z 坐标具有对等性，其方程也必然具有对等性。空间问题的基本理论弹性力学第5页/共53页一平衡微分方程 由3个力矩方程得到3个切应力互等定理， 空间问题的平衡微分方程精确到三阶微量空间问题的基本理论弹性力学第6页/共53页第七章　空间问题的基本理论内容提要一、平衡微分方程二、物体内任一点的应力状态三、主应力 最大与最小的应力 四、几何方程及物理方程五、轴对称问题的基本方程例题徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学简明教程(第三版)第7页/共53页二物体内任一点的应力状态 在空间问题中，同样需要解决：由直角坐标的应力分量… …，来求出斜面(法线为 ）上的应力。空间问题的基本理论弹性力学二第8页/共53页物体内任一点的应力状态 斜面的全应力p 可表示为两种分量形式：p沿坐标向分量：p沿法向和切向分量：空间问题的基本理论弹性力学二第9页/共53页物体内任一点的应力状态1. 求 取出如图的包含斜面的微分四面体，斜面面积为ds, 则x面，y面和z面的面积分别为lds,mds,nds。由四面体的力平衡条件可得空间问题的基本理论弹性力学二第10页/共53页物体内任一点的应力状态2. 求将向法向 投影，即得由得空间问题的基本理论弹性力学第11页/共53页二物体内任一点的应力状态3. 在 上的应力边界条件 设在 边界上，给定了面力分量 则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜面与边界重合。斜面应力分量 应代之为面力分量 ，从而得出空间问题的应力边界条件:空间问题的基本理论弹性力学第12页/共53页第七章　空间问题的基本理论内容提要一、平衡微分方程二、物体内任一点的应力状态三、主应力 最大与最小的应力 四、几何方程及物理方程五、轴对称问题的基本方程例题徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学简明教程(第三版)三第13页/共53页主应力 最大与最小的应力1.假设 面(l , m , n)为主面，则此斜面上斜面上沿坐标向的应力分量为：代入, 得到：空间问题的基本理论弹性力学第14页/共53页三主应力 最大与最小的应力考虑方向余弦关系式，有(b) 结论：式(a) , (b)是求主应力及其方向余弦的方程。空间问题的基本理论弹性力学第15页/共53页三主应力 最大与最小的应力2. 求主应力 将式(a)改写为：空间问题的基本理论弹性力学三第16页/共53页主应力 最大与最小的应力 上式是求解 l , m , n 的齐次代数方程。由于l , m , n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得展开，即得求主应力的方程, ( c )空间问题的基本理论弹性力学第17页/共53页三主应力 最大与最小的应力3.应力主向 设主应力 的主向为 。代入式(a)中的前两式，整理后得空间问题的基本理论弹性力学三第18页/共53页主应力 最大与最小的应力由上两式解出 。然后由式(b)得出再求出 及 。4. 一点至少存在着三个互相垂直的主应力（证明见书上）。空间问题的基本理论弹性力学三第19页/共53页主应力 最大与最小的应力5.应力不变量 若从式(c) 求出三个主应力 ，则式(c)也可以用根式方程表示为， 因式(c) 和( f )是等价的方程，故 的各幂次系数应相等，从而得出：空间问题的基本理论弹性力学第20页/共53页三主应力 最大与最小的应力(g)空间问题的基本理论弹性力学第21页/共53页三主应力 最大与最小的应力 式(g)中的各式，左边是不随坐标选择而变的；而右边各项虽与坐标的选择有关，但其和也应与坐标选择无关。 所以分别称 　　为第一、二、三应力不变量。