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四边形动点探究问题 《说明指导》内容补充，四边形动点探究问题，四边形动点探究问题是以运动的 点为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量和其他变量之间的关系，或 变量在满足一定条件下，进行相关几何计算和综合解答。 例题．如图，菱形ABCD 中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12cm，BD=16cm， 动点N从点D 出发，沿线段DB 以2cm/s 的速度向点B运动，同时动点M从点 B 出发，沿线段BA 以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另 一个动点也随之停止，设运动时间为t （s）（t＞0），以点M为圆心，MB长为半 径的⊙M与射线BA，线段BD分别交于点E，F，连接EN． （1）求BF 的长（用含有t 的代数式表示），并求出t 的取值范围； 【思维教练】（1）要求BF 的长，由题图知BF为圆中的弦，因此想到过圆心作 弦的垂线段，构造直角三角形，菱形ABCD 的对角线AC，BD长已知，将构造 的直角三角形与△AOB结合，利用相似三角形进行求解。 解：（1）连接MF． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，AC⊥BD，OA=OC=6，OB=OD=8， 在Rt△AOB 中，AB= =10， ∵MB=MF，AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB=∠MFB， ∴MF∥AD， ∴ = ， ∴ = ， ∴BF= t （0＜t≤8）． （2）当t为何值时，线段EN与⊙M相切？ 【思维教练】要求线段EN与⊙M相切时t值，则想到将相关线段长用t值表示 出来，根据切线的性质，可得直角三角形，进而利用题图中其他相关直角三角形， 从而转化为相似三角形，利用线段的比例关系进行求解。 解：（2）当线段EN与⊙M相切时，易知△BEN∽△BOA， ∴ = ， ∴ = ， ∴t= ． ∴t= s时，线段EN与⊙M相切． （3）若⊙M与线段EN只有一个公共点，求t 的取值范围． 【思维教练】（2）中已求出线段EN与⊙M相切时的t值，即此时EN与⊙M 只 有一个公共点，这是一个关键位置，那么在什么情况下⊙M与线段EN会有两个 公共点？排除有两个公共点的情况后，结果可知。 ①由题意可知：当0＜t≤ 时，⊙M与线段EN只有一个公共点． ②当F与N重合时，则有 t+2t=16，解得t= ， 关系图象可知， ＜t＜8时，⊙M与线段EN 只有一个公共点． 综上所述，当0＜t≤ 或 ＜t＜8时，⊙M与线段EN只有一个公共点． 针对演练 1．在正方形ABCD 中，动点E，F 分别从D，C两点同时出发，以相同的速度 在直线DC，CB上移动． （1）如图①，当点E 自D 向C，点F 自C 向B移动时，连接AE和DF交于点 P，请你写出AE与DF 的位置关系，并说明理由； （2）如图②，当E，F 分别移动到边DC，CB 的延长线上时，连接AE和DF， （1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明） （3）如图③，当E，F分别在边CD，BC 的延长线上移动时，连接AE，DF，（1） 中的结论还成立吗？请说明理由； （4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P， 由于点E，F 的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若 AD=2，试求出线段CP 的最小值． ABCD MN B CD P 2．如图，将矩形纸片 沿直线 折叠，顶点 恰好与 边上的动点 重 P C D MN M,N AD,BC 合（点 不与点 ， 重合），折痕为 ，点 分别在边 上．连接 MB,MP,BP BP MN F ， 与 相交于点 ． BFN BCP （1）求证： ∽ ； （2）①在图2 中，作出经过M,D,P三点的圆O（要求保留作图痕迹，不写作法）； AB 4 P CD BM,BC ②设 ，随着点 在 上的运动，若①中的圆O恰好与