实对称矩阵参考.ppt

2021/3/8 2021/3/8 第三节 实对称矩阵 2021/3/8 对称矩阵 如果方阵A满足 就称A为对称矩阵 例如 方阵A为对称矩阵 矩阵A中关于主对角线对称的每一对元素相等 2021/3/8 定理2 实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交。 设A是对称矩阵 实对称矩阵的性质 定理1 实对称矩阵的特征值必为实数。 证明 定理3 设A是n阶对称矩阵， 是A的特征方程的 重根，则对应特征值 恰有 个线性无关的特征向量。 2021/3/8 定理　设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使得 其中 是以A的n个特征值为 对角元素的对角矩阵，正交矩阵P的列向量 是A的特征值所顺次对应的单位正交特征向 量。 实对称矩阵的对角化 2021/3/8 例　用正交变换把下列对称矩阵对角化 解　（１）求方阵Ａ的特征值　　 由　 得特征值　 （２）求特征向量　 对于　 对于　 解方程组　 得一个基础解系　 解方程组　 得一个基础解系　 2021/3/8 （３）将特征向量组正交化、单位化　　　 令　 正交化　 单位化　 2021/3/8 （４）构造矩阵Ｐ，写出相应的对角形矩阵　 令　 则有　 2021/3/8 求正交变换将实对称矩阵对角化的一般步骤： 1、求矩阵A的特征值 2、求特征向量 3、将特征向量正交化、单位化 4、构造正交矩阵，写出对应的对角形矩阵 2021/3/8 练习 设实对称矩阵 解 A的特征多项式为 A的特征值为 求正交矩阵P,使 为对角矩阵. 2021/3/8 当 解方程组 即 得到两个线性无关的特征向量 对于 得到特征向量 取 是矩阵A的正交特征向量组 2021/3/8 单 位 化 令 则有