清华大学信号与系统a.pptx

1 第三章 傅里叶变换 本章提要 傅里叶级数和傅里叶级数的性质 傅里叶变换和傅里叶变换的性质 周期信号和非周期信号的频谱分析 卷积和卷积定理 抽样信号的傅里叶变换和抽样定理 相关、能量谱和功率谱*由以上可见： 2 傅里叶生平 1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表“热的分析理论”中 3 傅立叶的两个最主要的贡献—— “周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”——傅里叶的第二个主要论点 4 §3.1 变换域分析： 频域分析：－－－傅里叶变换，自变量为 j  复频域分析：－－－拉氏变换, 自变量为 S =  +j  Z域分析：－－－Z 变换，自变量为 S =  +j  5  §3.2 周期信号的频谱分析 周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数： . 三角函数式的 傅立里叶级数 {cosn1t, sinn1t}. 复指数函数式的傅里叶级数 { e j n 1t } 6 一、三角函数的傅里叶级数: 直流 分量 基波分量 n =1 谐波分量 n1 7 直流系数 余弦分量 系数 正弦分量 系数 8 狄利赫利条件： .在一个周期内只有有限个间断点； .在一个周期内有有限个极值点； .在一个周期内函数绝对可积，即 一般周期信号都满足这些条件. 9 三角函数是正交函数  10 周期信号的另一种三角函数正交集表示 11 比较几种系数的关系 12 周期函数的频谱： 周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。直观看出：各分量的大小，各分量的频移， Cn 13 二、周期函数的复指数级数 由前知 由欧拉公式 其中 引入了负频率 14 周期复指数信号的频谱图 15 指数形式的傅里叶级数的系数 两种傅氏级数的系数间的关系 16 两种傅氏级数的系数间的关系 17 周期复指数信号的频谱图的特点 引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导； Cn 是实函数，Fn 一般是复函数， 当 Fn 是实函数时，可用Fn 的正 负表示0和π相位， 幅度谱和相 位谱合一； 18 三、周期信号的功率特性 P为周期信号的平均功率 符合帕斯瓦尔定理 19 四、对称信号的傅里叶级数 三种对称： 偶函数 ：f (t )=f (-t) 奇函数 ：f (t )= - f (-t) 奇谐函数 ：半周期对称 任意周期函数有： 偶函数项 奇函数项 20 周期偶函数只含直流和 其中a是实数 bn=0 Fn是实数 21 例如:周期三角函数是偶函数 E f(t) T1/2 -T1/2 t 22 周期奇函数只含正弦项 Fn为虚数 23 例如周期锯齿波是奇函数 E/2 -E/2 T1/2 -T1/2 f(t) t 0 24 奇谐函数 ： 沿时间轴移半个周期； 反转； 波形不变； 半周期对称 25 奇谐函数 的波形： f(t) T1/2 -T1/2 0 t 26 奇谐函数的傅氏级数 奇谐函数的偶次谐波的系数为0 27 五、傅里叶有限级数 如果完全逼近，则 n=∞ ; 实际中，n=N, N是有限整数。 如果 N愈接近 n ，则 其均方误差愈小 若用2N＋1项逼近，则 28 误差函数和均方误差 误差函数 均方误差 29 例如对称方波：偶函数且奇谐函数 只有奇次谐波的余弦项。 E/2 -E/2 T1/4 -T1/4 t 30 对称方波有限项的傅里叶级数 N=1 N=2 N=3 31 有限项的N越大，误差越小例如: N=11 32 由以上可见： N越大，越接近方波 快变信号，高频分量，主要影响跳变沿； 慢变信号，低频分量，主要影响顶部； 任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真 有吉伯斯现象发生end