定稿线性代数总复习及典型例题培训.ppt

一、 向量的内积 定义5.1 设有n 维向量 内积 令 长度 范数 定义5.2 正交 * 2021-12-16 精选文档 定义5.4 定理5.2 向量都是单位向量且两两正交． 矩阵A为正交矩阵的充要条件是 A 的列(行) * 2021-12-16 精选文档 求矩阵特征值与特征向量的步骤： 二、特征值与特征向量 * 2021-12-16 精选文档 定理5.3 注意：属于不同特征值的特征向量是线性无关的． 矩阵特征值与特征向量的性质： 特征值的常用结果： * 2021-12-16 精选文档 一般矩阵可对角化的判定方法及求解： 1. 它们的重数依次为 2. 个线性无关的特征向 量，那么矩阵A可对角化，否那么，不能对角化。 解系，如果根底解系中含有 3.当A可对角化时，将所有根底解系中的特征向量 构成矩阵 应与P中列向量的排列次序相对应． 次序 三、相似矩阵与对角化 * 2021-12-16 精选文档 1. 它们的重数依次为 2. 个线性无关的特征向量．再把它们正交 正交化、单位化? 解系，得 个两两正交的单位特征向量． 故总共可得n个两两正交的 单位特征向量? 实对称阵对角化的方法 把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵 3. 次序应与P中列向量的排列次序相对应． * 2021-12-16 精选文档 第六章 二次型 重点掌握如何用正交变换法化二次型为标准型。 * 2021-12-16 精选文档 典型题型 课本上例题 P10 eg1.7, eg1.8 P38 eg2.12, eg2.13 P56 习题19,20 P66 eg3.2, eg3.3, eg3.4 P85 eg4.6， eg4.8 P90 eg4.12, eg4.13 P98 eg4.18 P111 eg5.6， eg5.7 P130 eg6.3(1)(2) P135 习题2(1) 第五章第四节黑板上例题 * 2021-12-16 精选文档 3. 可逆矩阵的性质 * 2021-12-16 精选文档 利用定义〔一般适用于证明题〕 (3)待定系数法 (4) 初等变换法:步骤如下 4. 逆矩阵的计算方法 * 2021-12-16 精选文档 设方阵 分块对角矩阵的性质 那么 1. 2. 四、分块矩阵 * 2021-12-16 精选文档 特殊地，如果 是对角矩阵 当且仅当 都不为零时， 是可逆矩阵，且 * 2021-12-16 精选文档 矩阵的初等变换包括3种：对换变换、数乘变换 和倍加变换。这三种初等变换的过程都是可逆的， 且其逆变换是同一类型的初等变换. .列标 五、矩阵的初等变换与初等矩阵 1.初等变换与初等矩阵 定理2.3 设A是一个 非零矩阵，那么A一定 可以通过有限次初等行变换化为行阶梯形及行最 简形，再进展初等列变换化为如下标准形： 其中r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数. * 2021-12-16 精选文档 注意：初等变换不改变矩阵的可逆性。 对于任何一个非零矩阵,都可以先进展初等行变换化 为行阶梯形及行最简形,再进展初等列变换化为标准形. * 2021-12-16 精选文档 A的右边乘以相应的n阶初等矩阵. 定理2.4 设A是一个 矩阵，对A 施行一次 初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶 初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在 n阶方阵A可逆的充要条件是存在有限 定理2.5 个初等矩阵 * 2021-12-16 精选文档 六、矩阵的秩 求矩阵秩的方法 (1)利用定义：寻找矩阵中非零子式的最高阶数 (2)初等变换法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 * 2021-12-16 精选文档 对于n阶方阵A，如果A的秩等于n，那么称A 为满秩矩阵，否那么称为降秩矩阵. A为可逆矩阵. 对于n阶方阵A，以下命题等价： (1) A为满秩矩阵； (2) (3) (4) * 2021-12-16 精选文档 第三章 线性方程组 * 2021-12-16 精选文档 ( ) n A R = ( ) n A R 有无穷多解. b Ax = 非齐次线性方程组 (1) 无解 (2) 并且通解中有n-r个自由未知量. 其中 ( ) ( ) B R A R = 有解: * 2021-12-16 精选文档 非齐次线性方程组 的具体解法： (1)对增广矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵， 比较 以及n之间的大小关系，从而判断 方程组解的情况：无解，唯一解，无穷解。 (2)在判断有解的情况下，继续对行